Si dice angolo alla circonferenza di una circonferenza un qualsiasi angolo il cui vertice appartiene alla circonferenza. I lati di un angolo alla circonferenza possono essere o entrambi secanti, o uno secante e l'altro tangente alla circonferenza (Fig. 1).

Fig. 1

    Un angolo alla circonferenza ed un angolo al centro che insistono sullo stesso arco di circonferenza si dicono corrispondenti. Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro. Di conseguenza, tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali.

    In Fig. 2, i due angoli alla circonferenza di vertice C e C₁ insistono sullo stesso arco di circonferenza sul quale insiste l'angolo al centro acuto AOB, che è il minore tra i due archi nei quali la corda AB suddivide la circonferenza di centro O (archi complementari). L'angolo alla circonferenza di vertice D, invece, insiste sul maggiore tra i due archi nei quali la corda AB suddivide la circonferenza di centro O. Dunque, l'angolo alla circonferenza di vertice D è la metà dell'angolo al centro ottuso di centro O, mentre i due angoli alla circonferenza di vertice C e C₁ sono la metà dell'angolo al centro acuto di centro O. Poiché la somma tra l'angolo al centro ottuso di centro O e l'angolo al centro acuto di centro O è l'angolo giro, da ciò si deduce che la somma di due angoli alla circonferenza che insistono su archi complementari è l'angolo piatto.

Fig. 2

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