Azioni esterne di tipo coppia concentrate sui nodi

Sia consideri un'azione esterna

di tipo coppia, applicata in corrispondenza della sezione H del tronco i-j in Fig. 1. Per tracciare il diagramma del momento flettente in corrispondenza della sezione sede dell'azione esterna

, si operino due tagli nell'intorno di H, uno a sinistra e uno a destra di H, entrambi a distanza infinitesima da H. Nell'ipotesi che il tronco i-j appartenga ad una struttura in equilibrio, il tronco ed ogni sua porzione devono risultare in equilibrio. Dunque, anche il concio infinitesimo racchiuso tra la sezione a sinistra e la sezione a destra di H deve risultare in equilibrio.

Estraiamo il concio infinitesimo ricavato nell'intorno di H, senza alterarne lo stato di sollecitazione. Affinché ciò si realizzi, occorre applicare sulle facce del concio estratto le azioni che venivano trasmesse al concio, prima del sezionamento, dai tronchi i-H e H-j. Queste azioni, che, prima del sezionamento, erano azioni interne, diventano azioni esterne nel momento in cui vengono messe in evidenza sulla facce del concio estratto. In altre parole, occorre introdurre dall'esterno, come azioni esterne, quelle forze che i tronchi i-H e H-j non sono più in grado di trasferire al concio, come azioni interne, essendo stati separati dal concio.

Dovendo ricavare delle informazioni utili al tracciamento del diagramma del momento flettente, tra tutte le azioni trasmesse al concio prima del sezionamento verranno considerate, nel seguito, solo quelle che influiscono sul diagramma del momento flettente, trascurando lo sforzo normale N (Fig. 2). Le azioni in questione sono: le due azioni

trasmesse dal tronco i-H sulla faccia di sinistra del concio, le due azioni

trasmesse dal tronco H-j sulla faccia di destra del concio e l'azione esterna

Dall'equilibrio alla traslazione verticale del concio, segue che le due azioni

devono essere uguali in modulo e opposte in verso (Fig. 2):

Inoltre, assumendo positivi i momenti antiorari, l’equilibrio alla rotazione del concio rispetto ad un qualunque punto della sezione H impone che sia soddisfatta la relazione (Fig. 2):

dove

, momenti agenti sulle facce del concio infinitesimo, sono entrambi discordi rispetto alla coppia

. Per le dimensioni infinitesime del concio, il primo termine dell'equazione che esprime l'equilibrio alla rotazione è un infinitesimo. Trascurando il termine infinitesimo nei confronti degli altri tre contributi, si può esprimere l'equilibrio alla rotazione del concio nella forma:

Per il principio di azione e reazione, i momenti M_Hi e M_Hj che il concio trasmette ai tronchi i-H e H-j sono uguali in modulo e opposti in verso rispetto ai momenti

che i tronchi i-H e H-j trasmettono al concio. Dunque, i momenti M_Hi e M_Hj sono entrambi concordi rispetto alla coppia

e soddisfano la relazione di equivalenza:

Poiché le azioni che vanno considerate ai fini del tracciamento del diagramma del momento flettente in H sono quelle sui tronchi afferenti al concio sede dell'azione esterna

(M_Hi e M_Hj), possiamo concludere che il momento flettente sulla sezione H del tronco H-i (M_Hi, modulo di M_Hi) differisce dal momento flettente sulla sezione H del tronco H-j (M_Hj, modulo di M_Hj) per la quantità

, momento della coppia concentrata su H. Come mostrato in Fig. 1, allora, il diagramma del momento flettente subisce in H una discontinuità nel valore (discontinuità di prima specie), ma non nella tangente (discontinuità di seconda specie). Infatti, ricordando che il taglio, derivata prima del momento flettente:

è costante in H per l'equilibrio alla traslazione verticale del concio, anche la pendenza del diagramma del momento flettente deve essere costante in H.

Stabilendo di indicare col termine "azioni interne" le azioni sui tronchi, possiamo esprimere a parole la relazione di equivalenza sui tronchi afferenti al concio dicendo che, sul generico tronco sede di una o più azioni esterne di tipo coppia, la somma vettoriale delle azioni interne di tipo coppia (nel nostro caso, M_Hi e M_Hj) deve essere uguale, in modulo e verso, alla somma vettoriale delle azioni esterne di tipo coppia (nel nostro caso,

dalla relazione di equivalenza si deduce che i due momenti M_Hi e M_Hj devono avere stesso modulo e verso discorde.

Il risultato ottenuto è indipendente dalla posizione della sezione H. Pertanto, esso vale anche per coppie

applicate in corrispondenza dei nodi di estremità.

Metodo delle forze e metodo dei telai a nodi spostabili: svincolamento alla rotazione in una sezione sede di un'azione esterna di tipo coppia

Nel nodo B della struttura in Fig. 3, è applicata una coppia esterna

. Dunque, per quanto visto nelle Generalità, il diagramma del momento flettente subisce in B una discontinuità in valore.

Svincolando alla rotazione il nodo B, come richiesto dal metodo dei telai a nodi spostabili (Fig. 4), e mettendo in evidenza i momenti agenti nelle aste BA e BC (incognite iperstatiche), sarà quindi necessario introdurre in B due differenti incognite iperstatiche, Y e Z.

Analogamente a quanto visto nelle Generalità (Figg. 1 e 2), il legame tra i momenti incogniti Y e Z si ricava dall’equilibrio alla rotazione del nodo B, sede della coppia esterna

^[1], che può essere isolato dalla struttura operando un taglio subito a destra di B e un taglio subito al di sotto di B (Fig. 5).

Per l'equilibrio del nodo B (Fig. 5), le azioni agenti sul nodo devono equilibrarsi, ovvero, devono costituire un sistema nullo. Assumendo positivi i momenti orari, l'equilibrio alla rotazione del nodo B impone:

dove Y e Z sono i momenti agenti sul nodo B. Tale relazione di equilibrio può essere messa nella forma:

Ai momenti Y e Z agenti sul nodo, la cui somma vettoriale equilibra la coppia

, il principio di azione e reazione fa corrispondere i momenti Y e Z agenti sulle aste, la cui somma vettoriale equivale all’azione esterna

^[1]. Dunque, il problema della ricerca della relazione di dipendenza tra i momenti Y e Z, risolto in termini di equilibrio ragionando sul nodo sede della coppia esterna, può essere risolto anche in termini di equivalenza, ragionando sulle aste che afferiscono al nodo. Ovvero, intendendo per azioni interne quelle agenti sulle aste, il legame tra Y e Z può essere determinato osservando che, in ogni nodo, la somma delle azioni esterne deve sempre essere equivalente alla somma delle azioni interne (v. Generalità). Dalla Fig. 5, si ricava (per equivalenza):

In virtù della condizione di equivalenza, la coppia esterna

si distribuisce tra le aste BC e BA. Ovvero, una parte della coppia si ripartisce sull'asta BA (Y) e la restante parte si ripartisce sull'asta BC (M-Y). Poiché l’asta BA “vede” la coppia esterna solo per la quota Y, trasmessa dal nodo B, e l’asta BC “vede” la coppia esterna solo per la quota M -Y, trasmessa ancora dal nodo B, il problema in Fig. 3 può essere ricondotto allo studio della struttura di Fig. 6, in cui la coppia

compare direttamente secondo le proprie quote di ripartizione sulle aste BA e BC.

Si osservi come soddisfare a priori l’equilibrio del nodo B porti a stabilire un legame di dipendenza tra 2 incognite iperstatiche (Y e Z). Ciò fa sì che il numero delle incognite indipendenti in Fig. 4 non sia 3 (X, Y, Z), ma 2 e porta alla scrittura di un’equazione in meno nel sistema risolvente. In generale, soddisfare a priori l’equilibrio in n nodi riduce di n il numero delle incognite iperstatiche.

[1] Occorre rilevare che i momenti Y e Z in Fig. 4 si intendono applicati alle aste e non al nodo. Nell’equilibrio del nodo B mostrato in Fig. 5, vanno considerati, invece, i momenti Y e Z che agiscono sul nodo B. Per il principio di azione e reazione, tali momenti hanno stesso modulo e verso opposto rispetto ai momenti Y e Z di Fig. 4.