I telai a nodi spostabili

Si definisce telaio a nodi spostabili un telaio in cui i nodi, oltre a ruotare, possono anche traslare. Se non si trascura la deformabilità assiale, ogni telaio risulta sempre a nodi spostabili.

Per valutare se un telaio è a nodi fissi o a nodi spostabili, si considera il grado di vincolo della struttura che si ottiene inserendo una cerniera in corrispondenza di ogni nodo interno ed esterno in cui risulti vincolata la rotazione (assoluta o relativa), sia che essa sia vincolata in modo perfetto (vincolo rigido), sia che essa sia vincolata solo parzialmente (vincolo cedevole). Come per il metodo delle forze, la struttura svincolata e caricata nelle sezioni di svincolamento con le azioni trasmesse dai gradi di vincolo soppressi (incognite iperstatiche), assunte con verso arbitrario, viene detta travatura reticolare associata. Se la travatura reticolare associata è isostatica o iperstatica, il telaio è a nodi fissi. Al contrario, se la travatura reticolare associata è labile, il telaio è a nodi spostabili. In questo caso, il grado di labilità della travatura reticolare associata è uguale al numero di nodi spostabili.

Occorre precisare che il numero di nodi spostabili non corrisponde al numero di nodi che effettivamente si spostano, ma al numero di parametri indipendenti che definiscono la deformata rigida della travatura reticolare associata. Ovvero, il numero di nodi spostabili restituisce il numero di atti di moto rigido della travatura reticolare associata e corrisponde al numero di vincoli semplici che occorre introdurre per rendere a nodi fissi il telaio a nodi spostabili. In generale, il numero di nodi che si spostano è maggiore o uguale al numero di nodi spostabili.

Ognuna delle deformate per moto rigido che si ottengono da una travatura reticolare associata labile attivando un parametro indipendente di spostamento alla volta prende il nome di “cinematismo elementare” o “meccanismo”. In sostanza, in un telaio a nodi spostabili si hanno tanti cinematismi elementari quanti sono i gradi di labilità (nodi spostabili) della travatura reticolare associata.

Nel metodo dei telai a nodi spostabili, le incognite sono rappresentate dai momenti e dagli spostamenti indipendenti nei nodi del telaio a nodi spostabili. Esse si determinano aggiungendo alle equazioni di congruenza, scritte per ogni nodo in cui si operi uno svincolamento alla rotazione (assoluta o relativa), tante equazioni di equilibrio quanti sono i parametri indipendenti di spostamento. Il metodo dei telai a nodi spostabili è il metodo più automatico ma, in generale, non il più conveniente per risolvere un telaio a nodi spostabili.

Il telaio in Fig. 1 è una volta iperstatico. La sua travatura reticolare associata, mostrata in Fig. 2, è una volta labile. Dunque, la struttura in Fig. 1 è un telaio a un nodo spostabile.

Poiché nel nodo B è applicata una coppia esterna

, il diagramma del momento flettente subisce in B una discontinuità pari a

, momento della coppia

(v. scheda sulle azioni esterne di tipo coppia concentrate sui nodi). Dunque, nel sostituire al grado di vincolo alla rotazione relativa in B le azioni, assunte con verso arbitrario, che il grado di vincolo soppresso trasmetteva alle aste AB e BC prima di essere tolto (i momenti agli estremi B delle aste AB e BC), è necessario introdurre due differenti incognite iperstatiche, Y e Z, per tener conto della discontinuità in valore del diagramma del momento flettente in B. Come mostrato nella scheda dedicata alle azioni esterne di tipo coppia concentrate sui nodi, stabilendo di indicare col termine "azioni interne" le azioni sulle aste, per l'equilibrio alla rotazione del concio sede di un'azione esterna di tipo coppia le azioni interne sono concordi all'azione esterna e la loro somma (vettoriale) è uguale, in modulo e verso, all'azione esterna (equivalenza sulle aste afferenti al nodo, Fig. 3):

Per la condizione di equivalenza sulle aste afferenti al nodo B (Fig. 3), la coppia esterna

si ripartisce sulle aste AB e BC, nel senso che una parte della coppia

viene trasmessa dal nodo B all'asta BA (Y) e la restante parte viene trasmessa dal nodo B all'asta BC (

). Poiché l’asta AB “vede” la coppia esterna

solo per la quota Y, trasmessa all'asta dal nodo B, e l’asta BC “vede” la coppia esterna

solo per la quota

, trasmessa ancora dal nodo B, il problema in Fig. 1 può essere ricondotto allo studio della struttura di Fig. 4, in cui la coppia

compare direttamente secondo le proprie quote di ripartizione sulle aste AB e BC.

Si osservi come soddisfare a priori l’equilibrio del nodo B porti a stabilire un legame di dipendenza tra 2 incognite iperstatiche (Y e Z). Ciò fa sì che il numero delle incognite indipendenti in Fig. 2 non sia 3 (X, Y, Z), ma 2 e porta alla scrittura di un’equazione in meno nel sistema risolvente. In generale, soddisfare a priori l’equilibrio in n nodi riduce di n il numero delle incognite iperstatiche.

Proseguendo nella risoluzione dell’esercizio, si devono imporre le condizioni di congruenza nelle sezioni di svincolamento alla rotazione, per assicurare che la travatura reticolare associata, oltre ad essere staticamente equivalente (per l'ipotesi che le incognite iperstatiche siano uguali alle reazioni dei vincoli soppressi), sia anche cinematicamente equivalente al telaio in Fig. 1. In altre parole, tra tutte le infinite coppie di valori X e Y che lasciano in equilibrio la travatura reticolare associata, quella che risolve il problema è l’unica per la quale la struttura si deforma rispettando i vincoli interni ed esterni:

Nell'esplicitare le condizioni di congruenza nei nodi A e B, bisogna tener conto del contributo alla rotazione in A e B che deriva dal cinematismo associato al telaio a un nodo spostabile. Il cinematismo elementare che si ottiene assegnando un valore arbitrario (d) al parametro libero di spostamento per atto di moto rigido della travatura reticolare associata è riportato in nero in Fig. 5.

Per le condizioni di vincolo sulla travatura reticolare associata (Fig. 5), i nodi B e C possono traslare solo in direzione orizzontale.

A chiarimento della differenza che sussiste tra numero di nodi spostabili e numero di nodi che si spostano (introdotta nelle Generalità), si osservi come nel cinematismo a un solo nodo spostabile di Fig. 5 i nodi che si spostano siano ben 2: il nodo B e il nodo C. Come precisato nelle Generalità, infatti, il numero di nodi spostabili rappresenta il numero di gradi di libertà per atto di moto rigido della travatura reticolare associata, e non il numero di nodi che effettivamente si spostano. In effetti, una volta fissato lo spostamento arbitrario d da assegnare al nodo B (C), lo spostamento del secondo nodo che si sposta nel meccanismo di Fig. 5, il nodo C (B), rimane identificato da d per il fatto che, essendo una deformata per atto di moto rigido, il meccanismo è definito a meno di tutte le componenti di spostamento che derivano dalla deformabilità elastica del telaio, comprese quelle legate alla deformabilità assiale del tratto BC. Di conseguenza, l'asta BC trasla rigidamente senza variare di lunghezza. Nell'ambito della teoria dei piccoli spostamenti, ciò implica che la componente di spostamento del nodo C(B) lungo la congiungente B con C sia uguale alla componente di spostamento del nodo B(C), sempre lungo la congiungente B con C. In altre parole, l'inestensibilità delle aste impone un vincolo di rigidità tra le componenti di spostamento dei nodi, valutate lungo la congiungente i nodi (componenti di spostamento assiale). Il vincolo di rigidità stabilisce una relazione di dipendenza tra le componenti di spostamento assiale. Ciò fa si che il numero di parametri liberi (indipendenti) che definiscono la deformata rigida della travatura reticolare associata sia inferiore al numero di componenti di spostamento. La differenza tra componenti di spostamento e parametri liberi di spostamento è uguale al numero di aste che ammettono una traslazione rigida in direzione assiale.

In conclusione, pur essendo 2 i nodi che si spostano, il parametro indipendente di spostamento che definisce la deformata rigida della travatura reticolare associata in Fig. 5, e, quindi, il nodo spostabile, è solo uno.

Assumendo positive le rotazioni se orarie, le relazioni che esprimono la congruenza nei nodi A e B sono le seguenti 2 equazioni scalari nelle 3 incognite X, Y e d (spostamento del nodo B):

L’ulteriore equazione da scrivere per uguagliare il numero di equazioni al numero di incognite si ricava da una condizione di equilibrio. Il modo più automatico per scrivere l’equazione di equilibrio mancante è quello di utilizzare il P.L.V., assumendo come sistema deformante (o degli spostamenti) il cinematismo associato e come sistema lavorante (o delle forze) quello reale. La relazione che ne deriva prende il nome di equazione di catena.

Come chiarito nelle Generalità, il numero di equazioni di equilibrio, o di catena, da aggiungere alle equazioni di congruenza è uguale al numero di nodi spostabili. Inoltre, poiché, per definizione, un cinematismo è la deformata rigida di una struttura labile, le caratteristiche di sollecitazione interna sono identicamente nulle nelle travature reticolari associate di tutti i telai a nodi spostabili. Di conseguenza, il lavoro virtuale interno di un meccanismo è sempre nullo (applicazione del P.L.V. ai corpi rigidi).

Assegnato uno spostamento virtuale d al nodo B in Fig. 5, il P.L.V. applicato ai corpi rigidi porta a scrivere i seguenti termini di lavoro^[1]:

da cui, semplificando il parametro libero d e moltiplicando per l, si ricava una relazione tra X e Y, ovvero, un'equazione di equilibrio:

Nella fattispecie, la relazione ottenuta semplificando l'equazione di catena esprime l'equilibrio alla rotazione dell’asta AB.

Mettendo in sistema le due equazioni di congruenza e l'equazione di equilibrio, si ricavano i valori delle incognite iperstatiche e dello spostamento orizzontale del nodo B:

[1] Nella scrittura del P.L.V., si tenga presente che i termini di lavoro risultano negativi quando la forza (generalizzata) ha verso opposto rispetto allo spostamento (generalizzato) per il quale lavora. Si noti che la coppia non compie lavoro in quanto l’asta BC cui è applicata non ruota.

La struttura una volta iperstatica in Fig. 1 può essere risolta anche con il metodo delle forze, sopprimendo un solo grado di vincolo (interno o esterno) per renderla isostatica e assumendo come incognita iperstatica, X, la reazione vincolare del vincolo soppresso (struttura principale). Scegliendo di sopprimere un grado di vincolo esterno, si può eliminare il vincolo esterno in C, che ha molteplicità di vincolo pari a 1 (Fig. 7).

Affinché la struttura di Fig. 7 possa essere considerata equivalente a quella in Fig. 1, occorre garantire che le due strutture siano sollecitate nello stesso modo (equivalenza statica) e che ammettano le stesse componenti di spostamento (equivalenza cinematica). Poiché, per ipotesi, X è la reazione vincolare del carrello soppresso, l'equivalenza statica tra le due strutture è garantita a priori. Per soddisfare anche l'equivalenza cinematica, è sufficiente ripristinare la congruenza tra le due strutture in corrispondenza della sezione di svincolamento. Poiché in Fig. 1 lo spostamento verticale di C è impedito dal vincolo carrello, l'effetto combinato della forza X (incognita iperstatica) e della coppia esterna

sulla struttura principale deve produrre uno spostamento verticale nullo del nodo C:

Per determinare lo spostamento verticale in C, si può utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti: lo spostamento conseguente all’azione combinata della coppia

e della reazione vincolare incognita X è uguale alla somma degli spostamenti conseguenti a

e X, nell'ipotesi che

e X agiscono separatamente sulla struttura. In quanto segue, si assumono positivi gli spostamenti verticali verso il basso e positive le rotazioni orarie.

Anche quando si decide di risolvere un telaio a nodi spostabili con un metodo diverso da quello dei telai a nodi spostabili, bisogna sempre prestare molta attenzione a non trascurare le componenti indipendenti di spostamento nodale nelle equazioni risolventi. In sostanza, qualunque sia il metodo solutivo prescelto, la soluzione non può in alcun caso prescindere dalle componenti indipendenti di spostamento nodale. Infatti, anche se la struttura su cui opera il metodo delle forze è isostatica, la travatura reticolare associata al telaio è comunque labile. Di conseguenza, nel telaio sono sicuramente presenti tante componenti indipendenti di spostamento nodale quanti sono i gradi di libertà della travatura reticolare associata. Nel nostro caso, la componente indipendente di spostamento nodale è solo una, lo spostamento orizzontale dei nodi B e C.

Valutiamo v_C facendo uso della composizione cinematica delle rotazioni e degli spostamenti. Con riferimento alla Fig. 8,

, spostamento verticale del nodo C quando sulla struttura è presente la sola coppia concentrata

, risulta dalle seguenti relazioni:

Analogamente per

, spostamento verticale in C dovuto alla sola incognita iperstatica X, si ricava (Fig. 9):

da cui, sostituendo i valori di

, si ricava il modulo dell'incognita iperstatica X:

Verifichiamo che la reazione vincolare V_C del carrello in Fig. 1 sia effettivamente uguale all'incognita X appena ricavata. Per l’equilibrio alla rotazione dell’asta BC rispetto al punto B di Fig. 10, ottenuta suddividendo il telaio in travi semplicemente appoggiate, caricate dalle azioni esterne e dai momenti della soluzione iperstatica, si ha:

Avendo ricavato V_C con segno positivo, la reazione vincolare V_C ha il verso ipotizzato in Fig. 10, ovvero, è diretta verso l'alto (come X). Infatti, per l'equilibrio alla rotazione di BC le due reazioni vincolari V_B e V_C devono costituire una coppia di ugual momento e verso opposto rispetto alla coppia oraria che insiste sul nodo B.

Un altro possibile svincolamento per rendere la struttura isostatica è quello che consiste nel togliere un grado di vincolo interno, per esempio, inserendo una cerniera nel nodo B (Fig. 11).

La cerniera inserita in B attiva la rotazione relativa tra i tronchi AB e BC (impedita prima dello svincolamento). Per ripristinare la congruenza angolare in B si deve imporre che la rotazione relativa in B sia nulla anche dopo lo svincolamento:

Anche in questo caso, bisogna prestare molta attenzione a non trascurare le componenti indipendenti di spostamento nodale nelle equazioni risolventi (una equazione di congruenza).

Per calcolare la rotazione j_BC, si può far uso dello schema appoggio-appoggio con coppia concentrata su uno degli appoggi, perché il tronco BC è appoggiato in B e C (Fig. 11):

Per calcolare la rotazione j_BA, invece, si può osservare che, poiché il nodo B è libero di spostarsi orizzontalmente per la presenza di un grado di libertà allo spostamento orizzontale, il tronco BA è una trave a mensola incastrata in A con estremo libero in B (Fig. 11):

è della massima importanza osservare che, adottando uno schema appoggio-appoggio anche per il tronco BA, si sarebbe trascurato il contributo alla rotazione in B conseguente alla componente indipendente di spostamento orizzontale d. In tal caso, il telaio sarebbe stato erroneamente risolto come telaio a nodi fissi.

A differenza del metodo dei telai a nodi spostabili, il metodo delle forze non fornisce, in soluzione, lo spostamento orizzontale del nodo B. Per determinare d, si può considerare, ancora una volta, il comportamento a mensola dell’asta AB incastrata in A, con una coppia in B di momento Y pari a

Con il metodo dei vincoli ausiliari, la soluzione del telaio a nodi spostabili viene perseguita in due fasi distinte, per scomporre il problema nella somma di due problemi di più agevole soluzione. Nella fase 1, si bloccano tutte le componenti di traslazione dei nodi tramite vincoli ausiliari, risolvendo il telaio a nodi fissi che ne deriva. I vincoli ausiliari sono vincoli fittizi che, tramite le loro reazioni vincolari, imprimono alla struttura delle forze supplementari, non presenti sul telaio originario. Nella fase 2, i vincoli ausiliari vengono rimossi e alla struttura (privata del carico esterno) vengono applicate le reazioni vincolari ausiliarie con verso opposto.

Applicando il metodo al telaio in Fig. 1, reso isostatico per mezzo di uno svincolamento alla rotazione in B, impediamo lo spostamento orizzontale di BC tramite un carrello ad asse di scorrimento verticale posto in C (fig. 12).

Come mostrato nel dettaglio di Fig. 12, per l'introduzione del vincolo ausiliario in C che blocca la traslazione orizzontale di BC, l’asta AB diventa una mensola incastro-appoggio con coppia concentrata sull'appoggio. La rotazione in B dell'asta AB per effetto della coppia Y (rotazione di fase 1) si ottiene dalla soluzione dello schema iperstatico incastro-appoggio:

Sempre dalla soluzione dello schema iperstatico incastro-appoggio, si ricava anche la reazione vincolare del vincolo ausiliario:

Per calcolare la rotazione j_BC di fase 1, si può far uso dello schema appoggio-appoggio con coppia concentrata su uno degli appoggi, perché l’asta BC è appoggiata in B e C:

Passando alla fase 2, si deve togliere il vincolo ausiliario e applicare in C la reazione del carrello ausiliario cambiata di verso. Poiché nella fase 2 il tratto BC può traslare orizzontalmente, la reazione vincolare R_C, cambiata di verso, imprime uno spostamento orizzontale e un'ulteriore rotazione al nodo B dell'asta AB (rotazione di fase 2).

Nell'ipotesi di poter trascurare la deformabilità assiale di BC, lo spostamento orizzontale impresso al nodo B dalla reazione vincolare ausiliaria cambiata di verso è uguale allo spostamento orizzontale impresso al nodo C. Tale spostamento può essere valutato sullo schema a mensola con forza concentrata all'estremo libero, riportato nel dettaglio di Fig. 13.

I versi di R_C in Fig. 12 e 13 sono i versi effettivi. Dunque, la rotazione j_BC di fase 2 è ancora una rotazione oraria, di valore:

Per quanto riguarda j_BC, invece, non si hanno ulteriori contributi alla rotazione di fase 2, in quanto BC può solo traslare rigidamente:

Le rotazioni totali in B sono uguali alla somma delle rotazioni di fase 1 e di fase 2: