Si ripartisca l'insieme dei segmenti orientati per classi di equivalenza, includendo in ogni classe i segmenti orientati che hanno stessa direzione, stesso verso e stessa lunghezza. Operando in questo modo, tutti gli elementi di una stessa classe sono segmenti tra loro equipollenti. Ogni singola classe è rappresentabile per mezzo di un solo segmento orientato, equipollente a tutti gli altri della stessa classe, a cui resta associato l'orientamento e la lunghezza comune agli elementi della sua classe. L'elemento rappresentativo della propria classe prende il nome di vettore e si indica con la lettera v (corsivo neretto) oppure, in notazione alternativa, con il simbolo v. Graficamente, un vettore v può essere rappresentato sia con il simbolo di vettore (v oppure v), sia con il proprio modulo v.

Fig. 1

    La lunghezza dell'elemento rappresentativo della propria classe prende il nome di modulo del vettore associato alla classe e si indica con la lettera v (non in corsivo), oppure con il simbolo |v|. Rappresentando una lunghezza, il modulo è un numero reale non negativo.

    L'origine e l'estremo del vettore coincidono con l'origine e l'estremo dell'elemento scelto a rappresentare la propria classe di equivalenza. Quando ne vengano fissate le coordinate rispetto ad un sistema di riferimento, l'origine del vettore prende il nome di punto di applicazione. In tal caso, si parla di vettore applicato.

    Il vettore v di origine A ed estremo B viene convenzionalmente rappresentato come differenza dei punti estremo e origine (convenzione di Grassmann):

Fig. 2

    Per come è stato definito, ogni vettore risulta caratterizzato da:

• modulo,

• direzione (quella comune ai segmenti orientati compresi nella classe a cui è associato),

• verso (quello comune ai segmenti orientati compresi nella classe a cui è associato).

    Poiché il vettore resta definito dalla direzione della retta d'azione, e non dalla retta d'azione, due vettori con rette d'azione distinte, stesso modulo, stessa direzione e stesso verso rappresentano, di fatto, lo stesso vettore (appartengono alla stessa classe d'equivalenza). Due vettori con stesso modulo, direzione e verso si dicono equipollenti. Per indicare l'equipollenza tra vettori si utilizza il simbolo di uguaglianza.

    Il vettore di modulo unitario prende il nome di versore.

    Il vettore di modulo nullo prende il nome di vettore nullo.

    Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio (O, x, y, z), i vettori proiezione, o proiezioni, o vettori componenti, di un vettore dello spazio, v, sono tre vettori, i cui punti di origine e di estremo si ottengono proiettando ortogonalmente l'origine e l'estremo di v sui tre assi cartesiani. I moduli dei vettori proiezione di v sugli assi del sistema di riferimento sono tre quantità scalari, v_x, v_y e v_z, che prendono il nome di componenti del vettore v secondo i tre assi x, y e z. Per indicare un vettore dello spazio v di componenti v_x, v_y e v_z, si fa uso della seguente notazione:

Fig. 3

    Detti i, j e k, rispettivamente, i versori dei tre assi del sistema di riferimento, x, y, e z, i vettori componenti di v secondo i tre assi sono i seguenti:

    Note le tre componenti di v nel sistema di riferimento cartesiano triortogonale (O, x, y, z), v_x, v_y e v_z, il modulo del vettore dello spazio v si ottiene applicando il teorema di Pitagora:

    Fare click sulla Fig. 4 e trascinare gli estremi dei vettori in nero per vedere come si modificano i vettori proiezione v_x, v_y e v_z al variare di modulo, direzione e verso del vettore v. Trascinando l'origine del sistema di riferimento, O, è possibile vedere come si modificano i vettori proiezione v_x, v_y e v_z al ruotare della terna cartesiana ortogonale.

Fig. 4

    Analogamente, fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel piano (O, x, y), i vettori proiezione, o proiezioni, o vettori componenti, di un vettore del piano, v, sono due vettori, i cui punti di origine e di estremo si ottengono proiettando ortogonalmente l'origine e l'estremo di v sugli assi cartesiani. I moduli dei vettori proiezione di v sugli assi del sistema di riferimento sono due quantità scalari, v_x e v_y, che prendono il nome di componenti del vettore v secondo gli assi x e y. Per indicare un vettore del piano v di componenti v_x e v_y, si fa uso della seguente notazione:

Fig. 5

    Detti i e j, rispettivamente, i versori degli assi del sistema di riferimento, x e y, i vettori componenti di v secondo gli assi sono i seguenti:

    Note le componenti di v nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale (O, x, y), v_x e v_y, il modulo del vettore del piano v si ottiene, ancora, applicando il teorema di Pitagora:

    Quando gli assi del sistema di riferimento cartesiano non sono ortogonali, i vettori proiezione di v si ottengono ancora proiettando origine e estremo del vettore v secondo raggi proiettanti paralleli agli assi del sistema di riferimento, come mostrato in Fig. 6. Fare click sulla Fig. 6 e trascinarne i punti per vedere come si modificano i vettori proiezione di v=(B-A)=vet(AB) al variare di modulo, direzione e verso di v e al variare dell'inclinazione degli assi del sistema di riferimento.

Fig. 6

Test di verifica dell'apprendimento:

Risultante tra coppie e forze concentrate

Risultante tra forze incidenti

Risultante tra forze parallele

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