| Prodotto vettoriale |
Il prodotto vettoriale, o prodotto esterno, tra due vettori v1 e v2 è una operazione che si indica con:
e si legge "v1 vettore v2".
Il risultato dell'operazione è un vettore libero, il cui modulo è uguale al prodotto dei due moduli v1 e v2, moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra i vettori v1 e v2 (Fig. 1):
Essendo v2 sinJ = h, lunghezza del segmento ortogonale a v1 condotto per l'estremo di v2, tale valore risulta pari all'area v1h del parallelogramma avente per lati i vettori v1 e v2 (Fig. 1):
Fig. 1
La direzione del vettore risultato è ortogonale ad entrambi i vettori v1 e v2. Il verso è quello testa-piedi di un osservatore che vede ruotare il primo vettore sul secondo vettore con verso di rotazione levogiro, secondo il più piccolo degli angoli formati dai due vettori. Va precisato che, nel parlare di verso testa-piedi, si sottintende la convenzione di Grassmann, nel senso che l'estremo del vettore prodotto vettoriale è individuato dalla testa dell'osservatore, mentre il suo punto di applicazione è individuato dai piedi dell'osservatore (Fig. 2).
Fig. 2
In altre parole, i tre vettori v1, v2 e v1Ùv2 costituiscono, nell'ordine, una terna levogira. Pertanto, il verso del vettore prodotto vettoriale v1Ùv2 può essere ottenuto per mezzo della regola della mano destra, che, come noto, consente di fissare il verso del terzo asse di una terna levogira una volta che siano stati fissati i versi dei primi due assi della terna (nel nostro caso, una volta che siano stati fissati i versi dei vettori v1 e v2). Nella sua applicazione alla determinazione del verso del prodotto vettoriale di due vettori assegnati, la regola della mano destra si può enunciare come segue: disponendo le prime tre dita della mano destra in modo che il dito medio sia ortogonale al piano individuato dal pollice e dall'indice e ruotando la mano in modo che il primo dito (il pollice) sia orientato come v1 e il secondo dito (l'indice) sia orientato come v2, la direzione e il verso del prodotto vettoriale v1Ùv2 sono forniti dal terzo dito (il medio). In Fig. 3, la regola della mano destra è stata utilizzata per determinare il verso del vettore c = aÙb.
Fig. 3
In alternativa, la regola della mano destra applicata al prodotto vettoriale può essere enunciata come segue (Fig. 4): chiudendo il pugno della mano destra con verso di rotazione tale da portare il vettore che compare a primo termine del prodotto vettoriale (v1) sul vettore che compare a secondo termine del prodotto vettoriale (v2), il pollice della mano destra fornisce la direzione e il verso del vettore prodotto vettoriale tra v1 e v2.
Fig. 4
Come mostrato in Fig. 2 e 4, invertendo i fattori del prodotto vettoriale cambia il verso del vettore risultato. Da ciò si deduce che il prodotto vettoriale è un prodotto alternante e, come tale, non gode della proprietà commutativa:
Essendo sen(0)=0, se i vettori v1 e v2 sono tra loro paralleli il risultato del prodotto vettoriale è il vettore nullo.
Se i vettori sono dati in componenti cartesiane, la forma cartesiana del prodotto vettoriale si ottiene dallo sviluppo del seguente determinante:
Prodotto scalare, terna levogira, verso di rotazione levogiro, vettore, vettore libero.