Somma di 2 vettori (nel piano)

    Il vettore somma, o somma vettoriale, di due vettori v₁ e v₂ (liberi o applicati) è un vettore libero che si ottiene tramite la regola del parallelogramma: scelto a piacere un punto O del piano, si considerano i due vettori applicati, equipollenti a v₁ e v₂, che hanno punto di applicazione in O. Costruendo il parallelogramma che ha per lati i vettori equipollenti a v₁ e v₂, il vettore somma v = v₁ + v₂ è equipollente al vettore definito geometricamente dalla diagonale del parallelogramma che ha origine in O. Il fatto che il vettore somma sia un vettore libero deriva dall'arbitrarietà sulla scelta del punto O. La diagonale orientata con origine in O è la risultante dei due vettori con punto di applicazione in O, equipollenti a v₁ e v₂. Tale risultante è un cursore e, pertanto, è un vettore applicato.

    Il procedimento grafico è illustrato in Fig. 1. Potendo rappresentare graficamente un vettore v sia con il simbolo di vettore, sia con il proprio modulo, i vettori con origine in O sono stati indicati in Fig. 1 con v₁ e v₂ per sottolineare il fatto che hanno lo stesso modulo dei vettori v₁ e v₂, essendo ad essi equipollenti, ma resta inteso che non sono gli effettivi vettori v₁ e v₂.

Fig. 1

    è possibile ricavare il vettore somma di due vettori v₁ e v₂ (liberi o applicati) anche facendo ricorso al metodo testa-coda: disponendo in successione a partire da un punto O del piano, scelto a piacere, due vettori applicati equipollenti a v₁ e v₂, in modo che il punto di applicazione del vettore equipollente a v₂ coincida con l'estremo del vettore equipollente a v₁, il vettore somma v = v₁ + v₂ è equipollente al vettore che ha per punto di applicazione il punto O e per estremo l'estremo del vettore equipollente a v₂. Il procedimento è illustrato in Fig. 2.

Fig. 2

    Come facilmente verificabile in Fig. 3, facendo precedere il vettore equipollente a v₂ a quello equipollente a v₁, si ottiene la stessa risultante e, quindi, lo stesso vettore somma.

Fig. 3

Somma di n vettori (nel piano)

    Il vettore somma di n vettori v₁, v₂, v₃, ... , v_n si ottiene applicando più volte la regola del parallelogramma o il metodo testa-coda. Infatti, sommando gli n vettori a due a due, è possibile ricondurre il problema della somma di n vettori a quello di più somme di due soli vettori, ricadendo nel caso precedente.

    Il procedimento consiste nel ricercare dapprima la risultante R₁ dei due vettori equipollenti a v₁ e v₂ (in Fig. 4 tale risultante è ottenuta applicando il metodo testa-coda, a partire da punto O scelto a piacere). Successivamente, si ricerca la risultante R₂ tra un vettore equipollente a R₁ e un vettore equipollente a v₃ (Fig. 4). In linea di principio, per costruire R₂ occorre scegliere un secondo punto O del piano, da cui riportare i vettori equipollenti a R₁ e v₃. Poiché anche tale seconda scelta è arbitraria, nulla vieta di utilizzare lo stesso punto della costruzione precedente, come mostrato in Fig. 4. Si procede poi in modo analogo per i restanti n-3 vettori, sommando vettorialmente ogni volta la risultante R_i-2 con il vettore equipollente a v_i (per i che varia da 4 a n).

Fig. 4

    Come facilmente verificabile in Fig. 4 per il caso n = 4, il vettore che si ottiene sommando n vettori a due a due è identico al vettore che congiunge l'origine e l'estremo della poligonale che si costruisce riportando in successione i vettori equipollenti agli n vettori dati, a partire dal punto O del piano scelto a piacere. Ciò permette di ricavare la somma vettoriale degli n vettori direttamente dalla poligonale a n lati di origine O, che costituisce la generalizzazione del metodo testa-coda al caso di n vettori.

    Come per la somma di due soli vettori, anche in questo caso l'ordine secondo il quale vengono sommati i vettori equipollenti non influisce sul risultato (in Fig. 5 sono riportati due esempi di diverso ordine di somma dei vettori equipollenti a quelli mostrati in Fig 4). Si può quindi concludere che la somma vettoriale è un'operazione che gode della proprietà commutativa.

Fig. 5

    In Fig. 6, il vettore somma del sistema di tre vettori a, b e c è stato ottenuto, applicando il metodo testa-coda, come lato di chiusura del poligono di estremi OABC. Fare click sulla Fig. 6 e trascinare i punti O, A, B e C per vedere come si modificano i vettori somma a+b, b+c e a+b+c al variare di modulo, direzione e verso dei 3 vettori a, b e c.

Fig. 6

Test di verifica dell'apprendimento:

Risultante tra coppie e forze concentrate

Risultante tra forze incidenti

Risultante tra forze parallele

Argomenti correlati:

Risultante, segmenti orientati, vettore, vettore applicato, vettore differenza, vettore libero, vettore risultante, vettori equipollenti.