Il vettore risultante, o risultante, R, di un sistema di n vettori applicati del piano p (Fig. 1), S₁ = (v₁, v₂, ... , v_n), è un cursore equipollente al vettore somma degli n vettori dati, applicato lungo una retta d'azione r, tale che il momento del vettore risultante rispetto al generico punto del piano Q, scelto come polo, sia uguale al momento risultante del sistema di vettori dato rispetto allo stesso polo Q:

      "QÎp

p

Fig. 1

    Il vettore risultante è un cursore in quanto il suo momento rispetto al polo Q è indipendente dal punto di applicazione P scelto sulla retta d'azione r. Dunque, la risultante di un sistema di vettori può essere traslata lungo la propria retta d'azione.

    Poiché S₁ e S₂, con S₂ costituito dalla sola risultante R, sono due sistemi di vettori che hanno, per definizione di risultante, stessa risultante e stesso momento risultante rispetto al generico punto Q del piano scelto come polo, si può anche dire che la risultante di un sistema di vettori è quell'unico vettore che, da solo, è equivalente al sistema di vettori dato.

    La definizione non si applica ai sistemi di vettori liberi, per i quali, però, resta sempre definito il vettore somma.

    La retta d'azione della risultante prende il nome di asse centrale del sistema di vettori. Tale retta gode di una proprietà fondamentale, che può essere dimostrata a partire dalla definizione stessa di risultante. Per l'arbitrarietà del polo Q, infatti, i due sistemi di vettori S₁ e S₂ devono fornire lo stesso valore di momento anche per ognuno dei punti dell'asse centrale (Fig. 2). Essendo nullo il braccio di R rispetto ai punti dell'asse centrale, il momento di R rispetto ai punti della propria retta d'azione è sempre nullo. Ne segue, allora, che anche il momento di S₁ rispetto ad ognuno dei punti appartenenti all'asse centrale deve essere nullo (Fig. 2).

Fig. 2

In conclusione, l'asse centrale di un sistema di vettori può essere definito come la retta luogo dei punti rispetto ai quali il momento del sistema di vettori è nullo (Teorema dell'asse centrale).

    Nel caso particolare in cui si abbia n = 2 (Fig. 3), il Teorema dell'asse centrale consente di affermare che l'asse centrale è una retta (parallela al vettore somma) passante per il punto di intersezione delle rette d'azione di v₁ e v₂. Infatti, poiché il momento risultante del sistema di due vettori v₁ e v₂ è nullo rispetto al punto di intersezione delle rette d'azione di v₁ e v₂, essendo nullo il braccio e, quindi, il momento di entrambi i vettori rispetto a tale punto, il punto di intersezione appartiene sicuramente all'asse centrale.

Fig. 3

    Facendo uso del seguente link, è possibile visualizzare un applet che consente di determinare la risultante di un sistema di vettori con stesso punto di applicazione.

Test di verifica dell'apprendimento:

Risultante tra coppie e forze concentrate

Risultante tra forze incidenti

Risultante tra forze parallele

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