Momento di un vettore

Momento polare di un vettore applicato (nel piano)

Dato un vettore v applicato in P e un punto Q del piano, si definisce momento polare, o vettore momento polare, di v rispetto al centro di riduzione (o polo) Q il vettore M_Q, risultato del seguente prodotto vettoriale, ove si è fatto uso della convenzione di Grassmann:

Fig. 1

Per il vettore M_Q valgono, ovviamente, tutte le proprietà del prodotto vettoriale. In particolare, M_Q è un vettore libero, orientato secondo la normale al piano che contiene Q e v, con verso tale che i vettori (P – Q), v e M_Q costituiscano, nell'ordine, una terna levogira.

Per i vettori (P – Q) e v riportati in Fig. 1, il verso di M_Q è entrante nel piano. Il suo modulo, M_Q, a cui si da ancora il nome di momento, si calcola facendo scorrere il vettore (P-Q) lungo la propria retta d'azione, in modo da far coincidere il suo punto di applicazione con il punto di applicazione di v (Fig. 2).

Fig. 2

Dal prodotto vettoriale tra il traslato in P del vettore (P-Q) e il vettore v si ricava:

dove si è tenuto conto del fatto che il seno dell'angolo J₁ è uguale al seno del suo angolo supplementare, J₂. b, distanza di Q dal vettore v, è il braccio del vettore v rispetto al polo Q.

Per poter attribuire il segno al modulo di M_Q, occorre stabilire una convenzione di positività per i momenti. Ove non venga esplicitamente stabilito il contrario, si intenderà che il segno di M_Q è positivo o negativo se il verso di M_Q è, rispettivamente, uscente o entrante nel piano.

Considerando una massa concentrata nel punto H, proiezione ortogonale di Q sul vettore v, e mettendo in rotazione tale massa attorno al polo Q con vettore velocità tangenziale pari a v, si dice che il momento è orario o antiorario se il verso di rotazione della massa attorno ad Q è, rispettivamente, orario o antiorario.

Fig. 3

Per quanto stabilito dalla convenzione di positività per i momenti, un momento orario è negativo e un momento antiorario è positivo.

Per l'esempio riportato in Fig. 1, essendo la terna formata da (P – Q), v e M_Q, presi nell'ordine, destrogira per chi guarda il piano di figura, M_Q è orario e il suo segno è negativo.

La direzione del vettore M_Q definisce la direzione dell'asse vettore momento, che si indica con a.v.m. (Fig. 4). Il vettore momento si disegna lungo l'asse vettore momento, orientato secondo il verso di M_Q e con modulo pari al modulo di M_Q (Fig. 4). Per distinguere il vettore momento, che individua un momento, dai vettori propriamente detti, il verso del vettore momento si indica con doppia freccia (Fig. 4).

Fig. 4

Momento polare di un sistema di vettori (nel piano)

Dato un punto del piano Q, si definisce momento polare rispetto al polo Q di n vettori v_i applicati negli n punti A_i, con i = 1, ... , n, detto anche momento risultante, il vettore:

essendo M_Q^v_i il momento polare rispetto a Q del singolo vettore.

Si può dimostrare che il momento risultante di un sistema di vettori applicati o concorrenti in un medesimo punto coincide con il momento della risultante, applicata nel punto di concorso (Teorema di Varignon).

Momento di un vettore applicato rispetto ad un asse

Si dice momento assiale di un vettore v rispetto ad una retta orientata r la componente secondo r del momento polare di v rispetto ad un qualsiasi polo appartenente alla retta d'azione di r.

In Fig. 4 sono rappresentati i vettori momento M_T e M_Q, valutati rispetto ai due punti T ed Q della retta r, scelti come polo. I segmenti QS e TR, componenti dei vettori M_T e M_Q secondo la retta r, hanno stessa lunghezza. Tale lunghezza rappresenta il momento assiale di v rispetto alla retta r.

Fig. 4

Test di verifica dell'apprendimento:

Risultante tra coppie e forze concentrate

Risultante tra forze incidenti

Risultante tra forze parallele

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