La curva delle pressioni nelle strutture staticamente determinate

La curva delle pressioni prende anche il nome di poligono delle pressioni o luogo delle successive risultanti. In breve, si indica con c.d.p.

La denominazione "luogo delle successive risultanti" deriva dal fatto che la curva delle pressioni può essere definita come luogo delle rette d'azione delle successive risultanti, intendendo per successive risultanti la successione di vettori che un ideale osservatore ricaverebbe se calcolasse la risultante di tutte le forze incontrate nel percorrere l'asse geometrico della struttura a partire da un suo estremo, man mano che al sistema di forze già "viste" si aggiunge una nuova forza. Ogni lato del poligono è associato ad un tratto di struttura compreso tra i punti di applicazione di due forze consecutive, che possono essere forze esterne o reazioni vincolari, e rappresenta la retta d'azione della risultante di tutte le forze che precedono il tratto di struttura cui è associato.

Se sulla struttura sono presenti carichi distribuiti, il poligono delle pressioni può anche avere tratti curvi. In ogni caso, la curva delle pressioni va sempre ricercata applicando la definizione, ovvero, immaginando di percorrere la struttura a partire da un suo estremo e calcolando la risultante delle forze che si incontrano via via. In ultima analisi, dunque, il problema della costruzione della curva delle pressioni si risolve in un problema di ricerca della risultante di un sistema di forze.

Per comprendere meglio come venga stabilita l'associazione tra tratti di struttura e lati del poligono, passa col mouse sull'asse geometrico della struttura riportata qui sotto, muovendoti dal nodo A al nodo G e tenendo presente che l'osservatore riportato in figura coincide con la sezione di riferimento per il calcolo della risultante delle forze che precedono.

La costruzione della curva delle pressioni è indipendente dall'estremo della struttura scelto come origine. Infatti, per l'equilibrio della struttura, i due sistemi di forze che precedono e che seguono una determinata sezione devono farsi equilibrio, nel senso che la risultante del sistema di forze che precedono la sezione è una forza direttamente opposta (e quindi equilibrante) alla risultante del sistema di forze che si trovano oltre la sezione. Dunque, le rette d'azione delle due risultanti coincidono e l'osservatore che arriva in una determinata sezione calcola una risultante che è applicata sempre lungo la stessa retta, sia che egli giunga da destra o da sinistra. A cambiare in funzione della direzione secondo la quale si muove l'osservatore è solo il verso della risultante delle forze "viste" dall'osservatore. A chiarimento di quanto affermato, passa col mouse sull'asse geometrico della struttura riportata qui sotto, muovendoti dal nodo G al nodo A, e confronta i risultati con quelli ricavati nel caso precedente.

Definita la curva delle pressioni per tutti i tratti della struttura, la risultante di tutte le forze che precedono una determinata sezione è la forza, somma vettoriale delle forze che precedono la sezione, applicata nel punto del corrispondente tratto della curva delle pressioni che si trova sulla normale alla struttura condotta a partire dalla sezione in esame (v. figura).

In vista delle applicazioni, facciamo alcune considerazioni preliminari su qualche struttura elementare.

Ricaviamo la curva delle pressioni per la trave appoggio-appoggio caricata nel suo punto medio B (v. figura), ricordando anche i passi fondamentali che conducono alla determinazione delle reazioni vincolari per via grafica.

La struttura in esame è soggetta a sole tre forze: le due reazioni vincolari e la forza esterna. Di queste tre forze, conosciamo la retta d'azione del vincolo carrello, ortogonale al piano di scorrimento del vincolo e passante per il vincolo stesso, e la retta d'azione, l'intensità e il verso della forza esterna (assegnati dal problema). La retta d'azione del vincolo carrello incontra quella della forza esterna nel punto K. Sappiamo, inoltre, che la cerniera C può reagire con una forza R_C applicata in C e comunque diretta nel piano.

Poiché si suppone che la trave sia in equilibrio, il sistema di forze costituito dalla forza esterna e dalle reazioni vincolari deve essere equivalente a zero. In base al Teorema N, condizione necessaria (e in generale non sufficiente) affinché un sistema di tre forze applicate ad un corpo rigido sia equivalente a zero è che le forze siano complanari e concorrenti in uno stesso punto, proprio o improprio (condizione necessaria di equivalenza a zero). Dunque, le rette d'azione della forza esterna e delle reazioni vincolari devono incontrarsi in uno stresso punto. Ne segue che la reazione della cerniera C avrà retta d'azione passante per K, oltre che per C.

Determinate tutte le rette d'azione, è possibile costruire il poligono di equilibrio che, in questo caso, essendo solo tre le forze da equilibrare, è un triangolo di equilibrio: a partire da un punto O del piano, scelto a piacere, si riporta un vettore equipollente alla forza esterna F. Convenendo di riportare sul triangolo di equilibrio i moduli dei vettori, e non i vettori, il vettore applicato in O equipollente a F è stato indicato in figura con la lettera F, modulo di F. Dal punto di applicazione O e dall'estremo di questo vettore, si tracciano due rette, t e s, parallele alle rette d'azione delle reazioni vincolari, a e b. Per la proprietà commutativa di cui gode la somma vettoriale, detta t la retta parallela alla reazione vincolare del carrello e s la retta parallela alla reazione vincolare della cerniera, le costruzioni grafiche possibili per il triangolo di equilibrio sono due, del tutto equivalenti tra loro.

I lati del triangolo di equilibrio distesi lungo le rette t e s possono essere usati per definire in direzione e modulo due vettori, che chiameremo, rispettivamente, R_t e R_s. Fissando i versi di questi due vettori in modo che la somma vettoriale di F, R_t e R_s sia un vettore nullo (v. figura), il sistema di tre forze composto dal vettore applicato in O equipollente a F, R_t e R_s soddisfa la prima equazione cardinale della statica. Inoltre, detti R_A e R_C, rispettivamente, i vettori con rette d'azione a e b equipollenti a R_t e R_s, anche il sistema di tre forze formato da F, R_A e R_C soddisfa la prima equazione cardinale della statica. Va ricordato che, in generale, la chiusura del poligono delle forze non è condizione sufficiente per soddisfare anche la seconda equazione cardinale della statica, nel senso che non è sufficiente ad escludere l'eventualità che il sistema di forze possa essere equivalente ad una coppia. La chiusura del poligono di tre forze diventa condizione sufficiente per soddisfare anche la seconda equazione cardinale della statica solo se le rette d'azione delle tre forze concorrono in uno stesso punto, soddisfacendo la condizione necessaria di equivalenza a zero. In queste ipotesi, il sistema di tre forze risulta essere equivalente a zero e i vettori R_A e R_C, di modulo, direzione e verso definiti dalla chiusura del triangolo di equilibrio, rappresentano le due reazioni vincolari in A e C.

Per la consuetudine di riportare sul triangolo di equilibrio soli i moduli dei vettori, è possibile indicare i vettori distesi lungo le rette t e s del triangolo di equilibrio con R_A e R_C, moduli di R_A e R_C, restando inteso che essi non rappresentano le effettive reazioni vincolari R_A e R_C, ma due vettori ad esse equipollenti, la cui posizione nel piano è legata alla scelta arbitraria del punto O fra gli ∞² punti del piano.

Poiché il triangolo di equilibrio per la struttura in questione è un triangolo rettangolo isoscele, si ricava:

Passando ora alla costruzione della curva delle pressioni, si consideri di percorrere la struttura dall'estremo A all'estremo C. Per prima cosa, dobbiamo definire i tratti della struttura a cui associare i lati del poligono delle pressioni. Per definizione di curva delle pressioni, ogni tratto in cui viene suddivisa la struttura deve essere compreso tra i punti di applicazione di due forze consecutive, siano esse forze esterne o reazioni vincolari. Ne segue che i tratti da considerare in questo caso sono solo due: i tratti AB e BC.

Partendo dal nodo A, il nostro osservatore virtuale incontra subito la reazione vincolare R_A. Dunque, la retta d'azione di R_A sarà curva delle pressioni finché l'osservatore non incontra una nuova forza, ovvero, finché non arriva nel punto B. In conclusione, a, retta d'azione di R_A, è il lato della curva delle pressioni associato al tratto AB.

Giunto in B, il problema che si presenta al nostro osservatore è quello di determinare la risultante tra la reazione vincolare R_A e la forza esterna F. Si tratta di ricavare la risultante di due forze incidenti, problema affrontato in apposita scheda. D'altra parte, la risultante cercata dall'osservatore è a lui già nota. Infatti, ricordando che, per l'equilibrio della struttura, le forze che precedono una sezione devono fare equilibrio alle forze che seguono quella stessa sezione, la risultante tra R_A e F deve essere una forza uguale e opposta all'unica forza che si trova oltre il punto B, la reazione vincolare R_C. In particolare, è già nota la retta d'azione della risultante tra R_A e F, che è b, la retta d'azione di R_C. Dunque, la curva delle pressioni per il tratto BC è la retta b.

La curva delle pressioni per il tratto BC può essere ricavata anche sfruttando il metodo testa-coda per la determinazione della risultante di un sistema di forze. Infatti, disponendo in successione, a partire da un punto O del piano scelto a piacere, le due forze di cui si vuole ricavare la risultante, R_A e F, si ottiene un secondo triangolo, detto triangolo di equivalenza, identico al triangolo di equilibrio salvo per il verso di orientazione dell'ultimo lato.

Dal confronto tra il triangolo di equilibrio e il triangolo di equivalenza, è possibile verificare che R, risultante di R_A e F, è, effettivamente, una forza uguale e opposta a R_C, l'unica forza che si trova oltre il punto B. Per quanto riguarda la retta d'azione di R, sappiamo che essa deve passare per il punto K (v. scheda). Essendo poi la retta d'azione di R parallela alla retta d'azione di R_C, essa coincide con la retta b. Si vuole qui sottolineare che, per retta d'azione di R, si intende la retta d'azione della risultante R delle due forze R_A e F incidenti sulla struttura ABC e non retta d'azione del suo vettore equipollente che compare nel triangolo di equivalenza. Per l'arbitrarietà del punto O del piano, infatti, le rette d'azione definibili per il vettore equipollente a R sono ∞², essendo ∞² i punti del piano.

I risultati ottenuti sono sintetizzati nella seguente tabella, che completa la soluzione del problema della determinazione della curva delle pressioni per la trave ABC:

Tratto

Curva delle pressioni

retta a

retta b

La trave appoggiata con due forze concentrate simmetriche e vincoli inclinati a 45°

Ci proponiamo ora di ricavare la curva delle pressioni per la trave con due forze concentrate, simmetriche rispetto alla mezzeria, mostrata in figura:

Ai fini della determinazione delle reazioni vincolari, è lecito sostituire le due forze esterne con la loro risultante, in quanto si tratta di un'operazione invariantiva. Poiché la risultante di due forze concordi è interna alle due forze, ha modulo pari alla somma dei moduli e dista dalle due forze per quantità che sono inversamente proporzionali all'intensità delle forze stesse (v. scheda), la risultante delle forze esterne è una forza identica a quella dell'esempio precedente, ancora applicata in mezzeria. Di conseguenza, per la determinazione delle reazioni vincolari si ricade nel caso precedente, nel senso che esse sono identiche a quelle calcolate per la trave caricata in mezzeria. Anche il poligono di equilibrio è identico a quello del caso precedente, se viene costruito usando la risultante delle due forze esterne.

Volendo ora ricavare la curva delle pressioni, definiamo i tratti di struttura di interesse. In questo caso, i tratti di struttura lungo i quali rimane costante la risultante delle forze sono tre: AB, BC e CD.

Tra A e B, l'osservatore virtuale deve trovare la risultante di un sistema formato da un'unica forza, la reazione vincolare R_A. Quindi, la curva delle pressioni per il tratto AB coincide con la retta d'azione di R_A, la retta a.

In B, l'osservatore incontra la prima forza concentrata di intensità F/2, che deve comporre vettorialmente con R_A. Sappiamo che la risultante di R_A e F/2 deve passare per il punto K₁, intersezione delle rispettive rette d'azione (v. scheda). Inoltre, sappiamo che la risultante di tutte le forze che precedono la generica sezione del tratto BC deve essere uguale e opposta alla risultante delle forze che seguono la sezione stessa. Oltre il tratto BC, sono presenti solo due forze, l'altra forza concentrata e R_D. La loro risultante deve passare per il loro punto di intersezione, K₂. Ci troviamo quindi di fronte a due forze, una applicata in K₁ e una applicata in K₂, che devono farsi equilibrio. Perché ciò avvenga, le due forze devono essere direttamente opposte, ovvero, devono avere stesso modulo ed essere applicate lungo la stessa retta d'azione. Di conseguenza, la risultante di R_A e F/2 passa per entrambi i punti K₁ e K₂ (retta b).

Per il tratto CD, l'osservatore deve calcolare la risultante di R_A, F/2 applicata in B e F/2 applicata in C. Come osservato in precedenza, questa risultante deve essere uguale e opposta all'unica forza che si trova oltre il punto C. Dunque, la sua retta d'azione è c, retta d'azione di R_D.

In conclusione, la curva delle pressioni è fornita, tratto per tratto, dalla seguente tabella riassuntiva:

Tratto

Curva delle pressioni

retta a

retta b

retta c

Osserviamo, a questo punto, che la curva delle pressioni per in tratto BC può essere ottenuta direttamente dal poligono di equilibrio, ricordando che la forza F è la risultante delle due forze concentrate di intensità F/2. Dunque, la forza F può essere sostituita dalle due forze F/2 poste in successione (operazione invariantiva):

La somma vettoriale tra R_A e la forza concentrata F/2 applicata in B può essere letta sul poligono di equilibrio come risultante dei vettori (2-1) e (3-2), ove si è fatto uso della convenzione di Grassmann. La risultante dei vettori (2-1) e (3-2) è il vettore (3-1), che ha direzione orizzontale. La retta d'azione della risultante tra R_A e la forza concentrata F/2 applicata in B, dovendo essere orizzontale e dovendo passare per K₁, è la retta b.

La trave appoggiata con tre forze concentrate simmetriche e vincoli inclinati a 45°

Estendiamo i risultati dell'esercizio precedente per definire la curva delle pressioni nella trave appoggiata con tre forze concentrate facendo uso del poligono delle forze. Come prima, ai fini della determinazione delle reazioni vincolari è lecito sostituire le forze esterne con la loro risultante, F. Poligono d'equilibrio e reazioni vincolari, quindi, sono identici a quelli dell'esercizio precedente.

A questo punto, dividiamo la forza F del poligono d'equilibrio in tre parti uguali, operazione lecita in quanto operazione invariantiva.

Per quanto osservato in precedenza, la curva delle pressioni per il tratto BC è parallela al vettore (4-2) e passa per K₁, punto d'intersezione di R_A e della forza F/3 applicata in B (retta b). La curva delle pressioni per il tratto successivo si ottiene dal poligono componendo il vettore (4-3) con due vettori di intensità F/3, i vettori (2-1) e (3-2), ottenendo il vettore (4-1). La retta parallela al vettore (4-1) e passante per K₂, punto d'intersezione di b e della forza F/3 applicata in C, è la curva delle pressioni per il tratto CD. Infine, nei tratti AB e DE la curva delle pressioni è data dalle rette d'azione delle reazioni vincolari, come nei casi precedenti.

Tratto

Curva delle pressioni

retta a

retta b

retta c

retta d

Poiché la risultante delle forze esterne è ancora una forza verticale verso il basso di modulo F, le reazioni vincolari sono identiche a quelle dei casi precedenti. La curva delle pressioni può essere dedotta dai casi precedenti, considerando il carico distribuito come caso limite, ottenuto suddividendo la forza esterna F in infinite forze infinitesime di ugual modulo, uniformemente distribuite sulla trave.

Confrontando tra loro i casi precedenti, ci si può rendere conto del fatto che i lati del poligono delle pressioni aumentano all'aumentare del numero di suddivisioni della forza esterna. Al limite, per suddivisione infinita del carico, si ottiene una parabola che è tangente in A e B alle rette d'azione delle reazioni vincolari. La parabola può essere considerata come poligono a infiniti lati di dimensione infinitesima. Ogni lato infinitesimo (un punto della parabola) è disteso lungo la retta d'azione della risultante delle forze che precedono la sezione di cui il lato è proiezione ortogonale sulla parabola, secondo una retta ortogonale all'asse della trave. Considerando l'osservatore nella posizione identificata dall'ascissa corrente z, il carico distribuito "visto" dall'osservatore ha risultante verticale di modulo qz e passa per il baricentro del rettangolo di base z e altezza q (v. figura).

Dal poligono d'equilibrio, possiamo ricavare la risultante tra R_A e qz in direzione modulo e verso. Ebbene, la tangente alla parabola nel punto che si trova sulla normale all'asse della struttura che passa per l'osservatore è parallela alla retta d'azione della risultante calcolata sul poligono d'equilibrio. Per le proprietà geometriche che caratterizzano la parabola, tale tangente passa per il punto K_z, intersezione della retta a con la retta d'azione della risultante del carico distribuito "percorso", qz. Dunque, la tangente alla parabola in z è la retta d'azione della risultante delle forze che precedono la sezione z. Si può anche dire che la parabola è l'inviluppo delle rette d'azione delle successive risultanti.

Per quanto riguarda la costruzione grafica del tratto parabolico di tangente iniziale a e tangente finale b, si faccia riferimento all'apposita scheda.

Consideriamo ora la seguente trave appoggiata con forza concentrata in mezzeria e vincoli ad asse verticale.

Volendo risolvere la trave per via grafica, ovvero, facendo uso del poligono di equilibrio, dobbiamo innanzitutto determinare la direzione delle rette d'azione delle forze che devono farsi equilibrio. Le direzioni della forza esterna e della reazione del vincolo in A, sono note: la prima perché assegnata dal problema e la seconda per condizione di vincolo. Poiché queste due forze sono entrambe verticali, la loro risultante è ancora una forza verticale. Inoltre, poiché le due forze sono discordi, la loro risultante è esterna alle due forze e posta dalla parte della forza maggiore (v. scheda). Noi non sappiamo ancora quale delle due sia la forza maggiore, perché non conosciamo il modulo di R_A. Però, sappiamo che, per l'equilibrio della trave, la risultante tra R_A e F deve essere una forza uguale e opposta all'unica altra forza che insiste sulla trave, la reazione vincolare della cerniera C. Di conseguenza, la risultante tra R_A e F deve essere applicata lungo la stessa retta d'azione di R_C. Poiché la cerniera C può reagire con una forza R_C applicata in C, anche la risultante di R_A e F dovrà passare per il punto C. Dovendo poi essere una forza verticale, la sua retta d'azione è la retta verticale per C, b.

Siamo così giunti alla definizione della curva delle pressioni, senza dover risolvere la trave in termini di reazioni vincolari esterne:

Tratto

Curva delle pressioni

retta a

retta b

Volendo ricavare anche le reazioni vincolari, ci si può subito rendere conto del fatto che la soluzione per mezzo del poligono delle forze è impraticabile, in quanto tutte le forze in gioco sono tra loro parallele e il poligono risulterebbe degenere. Però, possiamo ragionare come segue.

Abbiamo modo di verificare la correttezza di questo risultato? Sì, se ricordiamo che la curva delle pressioni è già stata definita. Infatti, avendo calcolato il modulo di R_A, ora possiamo ricavare la risultante tra R_A ed F sapendo che, oltre ad essere verticale e posta dalla parte della forza maggiore, cioè a destra di F, deve anche distare da R_A e F per quantità inversamente proporzionali ai rispettivi moduli. Sia r una generica retta verticale posta a destra della forza F e siano d_{R_A} e d_F le distanze di r da R_A e F, con d_{R_A} distanza orientata dalla retta a alla retta r e d_F distanza orientata dalla retta f alla retta r (v. figura).

La retta r è retta d'azione della risultante che stiamo cercando per i valori di d_{R_A} e d_F che risolvono il seguente sistema di due equazioni nelle due incognite d_{R_A} e d_F:

La prima equazione impone che la distanza dei punti della retta r dalle rette a e f sia inversamente proporzionale, rispettivamente, ai moduli delle forze R_A e F, mentre la seconda impone che, per il rispetto delle condizioni geometriche, la differenza tra le due distanze sia pari a l/2. Dalla prima equazione ricaviamo:

Ovvero, la risultante tra R_A e F si trova sulla retta b. Questo risultato coincide con quanto stabilito dalla curva delle pressioni per il tratto BC e, quindi, è corretto.

La posizione della risultante può anche essere ricavata come applicazione del Teorema dell'asse centrale, ricordando che le forze componenti un generico sistema di forze, Σ, hanno momento risultante nullo rispetto a tutti i punti della retta d'azione della risultante di Σ. Nell'ipotesi che la risultante cercata si trovi alla destra di F, si può definire la posizione della risultante rispetto a B tramite un'ascissa z, di origine B e diretta verso destra (v. figura), che fissa la posizione della retta verticale r posta a destra del punto B. La condizione di annullamento del momento risultante del sistema di forze R_A + F rispetto ai punti di r si esplicita come segue:

Infine, considerando la forza esterna F come somma di due forze di modulo F/2 poste sulla stessa retta d'azione (v. figura), operazione sempre lecita in quanto operazione invariantiva, possiamo ricondurre il sistema di forze R_A + F al sistema ad esso equivalente costituito da una delle due forze F/2 in mezzeria e dalla coppia oraria di intensità Fl/4 formata da R_A con l'altra forza F/2 in mezzeria.

Come mostrato nella scheda dedicata alla composizione delle forze, la risultante di questo sistema di forze è una forza diretta verso il basso, di modulo F/2, posta a destra del punto B e distante da B di una quantità pari al rapporto tra il modulo della coppia e il modulo della forza, cioè, l/2. Si è quindi ottenuta l'equilibrante di R_C, la cui retta d'azione è la retta b. Anche in questo caso, il risultato ottenuto coincide con quanto stabilito dalla curva delle pressioni. Possiamo anche osservare che, poiché la risultante tra R_A e F è l'equilibrante di R_C, il sistema di tre forze composto da R_A, F e R_C è equivalente a zero. Ciò significa che, per i valori di reazione vincolare che abbiamo calcolato, la trave risulta in equilibrio. Quindi, le reazioni vincolari calcolate sono corrette.

La reazione vincolare in C si determina imponendo che debba costituire, insieme a R_A, un sistema di forze equilibrante la forza esterna. Ne segue che anche R_C è diretta verso l'alto e ha modulo F/2.

Come verifichiamo la correttezza di questo risultato? Occorre controllare che le reazioni vincolari ottenute soddisfino le condizioni di simmetria sul risultato imposte dalla simmetria del sistema. Poiché le reazioni vincolari sono simmetriche, il risultato è corretto.

Poiché, ai fini della determinazione delle reazioni vincolari, è lecito sostituire le forze esterne con la loro risultante, R_A e R_D sono identiche alle reazioni vincolari del caso precedente.

Per quanto riguarda la curva delle pressioni, i tratti di interesse sono AB, BC e CD. Partendo da A, l'unica forza che si incontra è R_A fino a quando si giunge in B. Arrivati in B, dobbiamo trovare la risultante tra R_A e la forza concentrata in B. Queste due forze costituiscono coppia. Come mostrato nella scheda ad essa dedicata, la risultante di una coppia è un vettore nullo applicato sulla retta impropria. Giunti nel punto C, bisogna calcolare la risultante tra R_A, la forza concentrata in B e la forza concentrata in C. Per quanto più volte osservato in precedenza, tale risultante dovrà equilibrare la reazione R_D e, quindi, avrà la sua stessa retta d'azione. In alternativa, si può facilmente verificare che la risultante tra la forza concentrata in C e la coppia oraria formata da R_A con la forza concentrata in B è proprio una forza diretta verso il basso, con retta d'azione d e modulo pari a F/2.

In conclusione, la curva delle pressioni per la struttura in esame è la seguente:

Tratto

Curva delle pressioni

retta a

retta impropria

retta d

Per quanto riguarda la ricerca delle reazioni vincolari, valgono le considerazioni fatte per l'esempio precedente. Dunque R_A = R_E = F/2.

I tratti di interesse per la determinazione della curva delle pressioni sono AB, BC, CD e DE. Nel tratto AB la curva delle pressioni è ancora la retta a. Per il tratto BC, occorre determinare la risultante tra R_A e la forza concentrata in B. Essendo due forze parallele, la loro risultante si trova su una retta ad esse parallela. Inoltre, poiché le due forze hanno verso opposto, la loro risultante è esterna alle due forze e posta dalla parte della forza di modulo maggiore, la reazione vincolare. Calcoliamo la posizione della risultante facendo uso del Teorema dell'asse centrale. Imponiamo, cioè, che il momento risultante del sistema costituito dalle due forze sia nullo rispetto ai punti della retta d'azione della loro risultante. Chiamando d₁ la distanza della retta d'azione della risultante dal punto A, orientata come in figura, dalla condizione di annullamento del momento risultante si ottiene:

da cui ricaviamo d₁=l/2. Essendo positivo il segno di d₁, che, ricordiamo, è una distanza orientata, rimane confermata l'ipotesi iniziale secondo la quale la risultante tra R_A e la forza concentrata in B si trova a sinistra del punto A.

Per il tratto CD, fissiamo d₂, l'ascissa che definisce la posizione della nuova risultante, in modo che abbia stessa origine e stesso verso di d₁ e determiniamone il valore facendo nuovamente uso del Teorema dell'asse centrale. Per il nuovo sistema di forze, costituito da R_A, la forza applicata in B e la forza applicata in C, si ottiene:

da cui si ricava d₂= – 3/2 l. Poiché d₂ ha segno negativo, il verso assunto in prima approssimazione per d₂ è errato e la nuova risultante si trova, in realtà, a destra del punto A.

Per il tratto DE, valgono le considerazioni fatte a proposito degli esempi precedenti. In conclusione:

Tratto

Curva delle pressioni

retta a

retta b

retta c

retta d

Il carico distribuito può essere trattato come caso limite dei casi precedenti, ricavato per suddivisione della forza esterna F in infinite forze infinitesime di ugual modulo, uniformemente distribuite sulla trave. Possiamo osservare che il carico distribuito ha la stessa direzione delle reazioni vincolari. Di conseguenza, quando l'osservatore si trova nella posizione individuata dall'ascissa z, le forze che deve comporre, R_A e la risultante della quota di carico distribuito compresa tra A e z, sono forze parallele. Pertanto, la loro risultante si troverà sempre su una retta parallela alla retta a e la curva delle pressioni non presenterà il ramo parabolico osservato nel caso dei vincoli inclinati.

Occupiamoci di determinare la posizione della retta verticale su cui è applicata la risultante delle forze "viste" dall'osservatore quando egli si trova in z, fissando l'ascissa orientata d come in figura. La risultante del carico distribuito "visto" dall'osservatore che si trova in z, è una forza di modulo pari all'area del rettangolo di base z e altezza q, con q = F/l, applicata nel baricentro del rettangolo q ´ z. Dunque, la distanza tra la risultante qz e il punto A è uguale a z/2. Per la condizione di annullamento del momento risultante delle forze rispetto alla retta d'azione della risultante, si può scrivere (Teorema dell'asse centrale):

Analizziamo il segno di d: la quantità a numeratore è sempre positiva, mentre il denominatore è positivo per 0 ≤ z < l/2, nullo per z = l/2 e negativo per l/2 < z ≤ l. Inoltre, per z = 0 si ottiene d = 0, il che indica che la prima retta, quella che corrisponde a osservatore nel punto A, è la retta a. Per z crescente tra 0 e l/2, il numeratore cresce, mentre il denominatore decresce. Poiché il rapporto tra una quantità crescente e una decrescente è una quantità crescente, tra z = 0 e z = l/2, d cresce con segno positivo e la retta d'azione della risultante si sposta, con continuità, verso sinistra. Il fatto che la retta su cui si trova la risultante sia a sinistra del punto A non deve sorprendere, infatti, per tutto il tratto 0 ≤ z < l/2, si ha qz < R_A. Di conseguenza, poiché la risultante di due forze discordi è esterna alle due forze e posta dalla parte della forza di modulo maggiore, la curva delle pressioni di trova dalla parte di R_A cioè, appunto, a sinistra del punto A.

Nel punto B, d assume valore infinito per l'annullarsi del denominatore e la retta d'azione della risultante diventa la retta impropria. Anche in questo caso, il risultato ottenuto non deve sorprendere in quanto, nel punto B, la risultante del carico distribuito "percorso" è una forza che costituisce coppia con R_A, avendo stesso modulo, verso opposto e diversa retta d'azione. Ebbene, per quanto visto nell'apposita scheda, la risultante di una coppia è una forza a modulo nullo applicata su una retta a distanza infinita, la retta impropria.

Per z = l/2 + e, con e piccolo a piacere, d è ancora infinito ma cambia segno perché cambia segno il denominatore. Fisicamente, ciò corrisponde al fatto che la risultante del carico distribuito "percorso" dall'osservatore è diventata maggiore in modulo, anche se solo per un infinitesimo, rispetto a R_A. Quindi, la retta si porta a destra del baricentro del rettangolo del carico distribuito, perchè è il carico distribuito ad essere la forza di modulo maggiore, rimanendo a distanza infinita.

Nel tratto compreso tra B e C, il valore assoluto di d decresce e la retta si sposta dall'infinito (con segno negativo) verso il punto il B. Infine per z = l, si ricava d = – l. Dunque, l'ultima retta del fascio di rette parallele (fascio improprio) coincide con la retta d'azione del vincolo in C. D'altra parte, così doveva essere dal momento che, arrivato in z = l, l'osservatore ha "visto" R_A e tutto il carico distribuito e, per l'equilibrio della struttura, il carico distribuito e R_A devono equilibrare la reazione vincolare in C. Quanto detto è riassunto nella seguente tabella:

Tratto

Curva delle pressioni

fascio di rette parallele alla retta a, da A a +∞

fascio di rette parallele alla retta a, da -∞ a C

Il fatto che il passaggio da uno all'altro fascio di rette parallele avvenga nel punto medio della trave dipende dal valore delle reazioni vincolari, pari alla metà della risultante del carico distribuito, ma non è un risultato generalizzabile. Per determinare la posizione della sezione nella quale la risultante si trova sulla retta impropria, occorre calcolare la posizione del punto K rispetto al quale il carico distribuito assume stesso modulo e verso opposto della risultante di tutte le altre forze che precedono K, costituendo coppia con essa. A titolo di esempio, si consideri quanto si verifica nella struttura EFG dell'esercizio di riepilogo: poiché il carico distribuito interessa solo metà luce della trave, le reazioni vincolari assumono i valori R_E = 1/8 ql e R_G = 3/8 ql. Pertanto, K è il punto di ascissa z₂ che soddisfa la relazione (v. figura):

Avendo già osservato nelle generalità che la curva delle pressioni è indipendente dall'estremo della struttura scelto come origine di percorrenza, preoccupiamoci di definire l'origine più conveniente per derivare la curva delle pressioni. Se assumessimo come origine A, il punto in cui si trova il vincolo di tipo incastro, dovremmo preventivamente calcolare le tre componenti di reazione del vincolo per poterle comporre, trovare la retta d'azione della loro risultante e definire così la prima retta della curva delle pressioni "vista" dall'osservatore che si muove da A verso B. Invece, se partissimo dall'estremo libero B, detto libero perchè in esso non è presente alcun vincolo, non dovremmo fare altro che calcolare le successive risultanti del carico distribuito compreso tra B e A. Dunque, la scelta più conveniente consiste proprio nell'assume B come punto d'origine.

Calcoliamo ora la curva della pressioni ricordando che la risultante della porzione di carico distribuito compresa tra l'origine e l'ascissa z ha stessa direzione e stesso verso del carico distribuito, ha modulo pari all'area del rettangolo di base z e altezza q ed è applicata nel baricentro del rettangolo q ´ z. Dunque, se l'osservatore si trova in z, la risultante del carico distribuito da lui "visto" ha modulo qz e si trova a distanza z/2 dall'origine. Per quanto detto, segue che:

Tratto

Curva delle pressioni

fascio di rette parallele alla retta b, comprese

tra B e il punto medio della trave

N.B. Si vuol far notare che, nella tabella riassuntiva, la trave è stata indicata come tratto BA, e non come tratto AB. Infatti, la denominazione dei tratti deve rispettare il verso di percorrenza prescelto, nel senso che si deve indicare per primo il nodo che viene "visto" per primo dall'osservatore. Allo stesso modo, la dicitura "comprese tra B e il punto medio delle trave" sta ad indicare che la retta d'azione della risultante si sposta da B verso il punto medio quando l'osservatore si sposta da B verso A. La convenzione di porre per primi il nodo e la retta "visti" per primi è fondamentale per non creare ambiguità nella definizione della curva delle pressioni. Se avessimo scelto A come punto d'origine, avremmo dovuto scrivere:

Tratto

Curva delle pressioni

fascio di rette parallele alla retta b, comprese

tra il punto medio della trave e B

Analogamente, se nell'esercizio precedente avessimo scelto C come punto d'origine, con stessa scelta per l'ascissa d, avremmo dovuto scrivere:

Tratto

Curva delle pressioni

fascio di rette parallele alla retta a, da C a -∞

fascio di rette parallele alla retta a, da +∞ a A

Il problema della definizione della curva delle pressioni si intende risolto correttamente solo se la corrispondenza tra verso di percorrenza dell'osservatore e verso di traslazione della retta d'azione della risultante è corretta. Tale corrispondenza deve risultare anche dalla figura, dove, unitamente all'origine fissata per le z, verrà indicato anche il verso secondo il quale risultano traslate le rette che costituiscono il fascio.

Si riportano di seguito le figure riassuntive che devono accompagnare la tabella della curva delle pressioni, a completamento della soluzione, per i due casi di trave a mensola e trave appoggio-appoggio e per le due diverse scelte di origine di percorrenza.

Per quanto osservato negli esempi precedenti, se su un tratto di struttura insiste un carico distribuito la corrispondente curva delle pressioni assume la forma di:

Nella struttura riportata in figura, queste due situazioni si verificano entrambe. La curva delle pressioni tratto per tratto è riportata in tabella, mentre le reazioni vincolari, interne ed eerne, sono riportate direttamente sulla struttura. Si lascia al lettore il compito di verificarne valori e rette d'azione.

Tratto

Curva delle pressioni

retta a

parabola tangente in C alla retta a e in D alla retta b

retta b

fascio di rette parallele alla retta c, da E a +∞

fascio di rette parallele alla retta c, da -∞ a G

retta d

Per quanto fatto osservare al termine della discussione sulla trave a mensola, tabella e figura riassuntive indicano che l'origine di percorrenza dell'osservatore ideale è stata posta nel punto A. Volendo fissare l'origine nell'estremo opposto, G, si ricaverebbe quanto segue:

Tratto

Curva delle pressioni

retta d

fascio di rette parallele alla retta c, da G a -∞

fascio di rette parallele alla retta c, da +∞ a E

retta b

parabola tangente in D alla retta b e in C alla retta a

retta a

Traccia di soluzione: per semplificare la soluzione grafica dell'esercizio, può essere conveniente operare un taglio in corrispondenza della sezione E e studiare separatamente i due tronchi ABCDE e EFG.

Per l'equilibrio della struttura ABCDEFG, ogni suo tratto deve risultare in equilibrio e, quindi, anche i tronchi ABCDE e EF. I vincoli posti nella sezione di taglio (nodo E dei due tronchi) rappresentano, in entrambi i casi, l'azione complessiva che la parte di struttura soppressa esercitava sulla porzione in esame prima di operare il taglio. Una volta risolte le due strutture parziali, la reazione del vincolo E nella struttura ABCDEFG si calcola come risultante delle due reazioni vincolari R_E delle strutture parziali.

La curva delle pressioni nelle strutture isostatiche: struttura aperta con carico distribuito (es. 5)

La curva delle pressioni nelle strutture isostatiche: struttura aperta con carico distribuito (es. 6)

La curva delle pressioni nelle strutture isostatiche: struttura chiusa con carico distribuito (es. 1)