Composizione delle forze nel piano Prima di affrontare questo argomento, assicurati di aver chiare le nozioni di: coppia, forza, retta impropria, risultante, sistemi di forze, sistemi equivalenti di forze, vettore applicato.

Risultante di due forze concordi con stessa retta d'azione

    Un sistema formato da due forze concordi F₁ e F₂ con stessa retta d'azione r₁≡r₂≡r (Fig. 1) è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, con retta d'azione r e concorde a F₁ e F₂, il cui modulo è pari alla somma F₁ + F₂ dei moduli di F₁ e F₂.

    La forza R è la risultante di F₁ e F₂ e la sua retta d'azione, r, è l'asse centrale del sistema di forze (F₁, F₂).

Fig. 1

Risultante di due forze discordi con stessa retta d'azione

    Un sistema formato da due forze discordi F₁ e F₂ con stessa retta d'azione r₁≡r₂≡r (Fig. 2) è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, con retta d'azione r e concorde alla forza a modulo maggiore, il cui modulo è pari al valore assoluto della differenza tra i moduli di F₁ e F₂, |F₁ – F₂|.

    La forza R è la risultante di F₁ e F₂ e la sua retta d'azione, r, è l'asse centrale del sistema di forze (F₁, F₂).

Fig. 2

Risultante di due forze incidenti

    Un sistema formato da due forze F₁ e F₂ giacenti su rette d'azione incidenti, r₁ e r₂ (Fig. 3), è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, risultante del sistema di forze (F₁, F₂).

    Il modulo, la direzione e il verso di R sono forniti dalla somma vettoriale di F₁ e F₂ e la retta d'azione di R, r_R, detta asse centrale, passa per il punto d'intersezione delle rette r₁ e r₂. Infatti, poiché la direzione della risultante è fornita dal vettore somma, per determinare l'asse centrale è sufficiente trovare un punto che gli appartenga e condurre per esso una retta parallela al vettore somma. Per il Teorema dell'asse centrale, è sufficiente trovare un punto del piano rispetto al quale è nullo il momento risultante delle due forze F₁ e F₂. Essendo nullo il braccio di entrambe le forze rispetto al punto d'intersezione delle rispettive rette d'azione, il momento del sistema di forze (F₁, F₂) rispetto al punto d'intersezione di r₁ e r₂ è sicuramente nullo. Ne segue che il punto d'intersezione di r₁ e r₂ appartiene all'asse centrale.

O

Fig. 3

    Poiché la forza opposta alla risultante di un sistema di forze è l'equilibrante del sistema di forze, il sistema (F₁, F₂, –R) è equivalente a zero. Se ne può concludere che tre forze nel piano, per farsi equilibrio, devono concorrere in uno stesso punto. Abbiamo così ottenuto per altra via la condizione di equivalenza a zero nota come Teorema N.

Risultante di n forze incidenti (n>2)

    Un sistema formato da n forze con rette d'azione incidenti (Fig. 4a) è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, di modulo, direzione e verso forniti dalla somma vettoriale delle n forze. La retta d'azione della risultante del sistema di forze, detta ancora asse centrale, può essere determinata utilizzando il poligono delle successive risultanti.

    In Fig. 4 è riportata la determinazione dell'asse centrale per il caso n = 3. Stabilito l'ordine secondo cui sommare le tre forze, si costruisce il poligono delle successive risultanti. Il poligono delle successive risultanti in Fig. 4c) è stato costruito sommando, in successione, le forze F₁, F₂ e F₃.

Fig. 4

    Per il punto d'intersezione delle rette d'azione delle prime due forze, r₁ e r₂, si traccia la retta t, parallela alla somma vettoriale delle prime due forze, ricavata dal poligono delle successive risultanti. Per il Teorema dell'asse centrale, applicabile anche ad ognuno dei sistemi di forze in cui può essere decomposto il sistema originario, la retta t è la retta d'azione della risultante R₁₂ delle prime due forze. Sempre per il Teorema dell'asse centrale, la retta t e la retta r₃ si intersecano in un punto Q, appartenente alla retta d'azione r_R della risultante del sistema di tre forze. Infatti, poiché R₁₂ è la risultante di F₁ e F₂, la forza R, risultante di R₁₂ e F₃, è anche risultante di F₁, F₂, F₃, ovvero, è la risultante del sistema di tre forze. A questo punto, per tracciare l'asse centrale del sistema di tre forze è sufficiente condurre per il punto Q una retta parallela alla somma vettoriale di R₁₂ e F₃, che è anche somma vettoriale di F₁, F₂, F₃, ricavata dal poligono delle successive risultanti.

    Poiché la somma vettoriale è un'operazione commutativa, l'ordine secondo il quale vengono sommate le n forze non influisce sul risultato. A riprova di ciò, si osservi la costruzione grafica riportata in Fig. 5, ove la risultante R è stata ricavata sommando, in successione, le forze F₃, F₂ e F₁ del precedente sistema di tre forze.

Fig. 5

    Il procedimento illustrato equivale a decomporre il sistema di n forze nella somma di più sistemi di forze, che prendono il nome di sotto-sistemi di forze, in modo che il primo sotto-sistema sia composto da due forze e i restanti sotto-sistemi siano composti, ognuno, da un'unica forza. Il sistema di n forze è sempre equivalente alla somma dei sotto-sistemi in cui è stato decomposto, indipendentemente dalla scelta delle forze che compongono il primo sotto-sistema. Dunque, la risultante delle n forze può essere calcolata come risultante delle successive risultanti dei sotto-sistemi, sommati secondo un ordine prestabilito. Il tracciamento della retta t in Fig. 4b) corrisponde alla determinazione grafica dell'asse centrale per il primo sotto-sistema di forze, costruzione grafica nota, in quanto si ricade nel caso esaminato precedentemente di ricerca della risultante per un sistema di sole due forze incidenti. Trasportando sulla retta t il vettore somma del primo sotto-sistema di forze, è ora possibile determinare la risultante tra la risultante del primo sotto-sistema e l'unica forza che compone uno a piacere tra i sotto-sistemi rimasti, utilizzando ancora la costruzione grafica per la ricerca della risultante di due forze incidenti. Se le forze sono solo tre, il procedimento, a questo punto, si interrompe. In caso contrario, il procedimento viene reiterato per i restanti sotto-sistemi, sommati uno alla volta.

Risultante di due forze parallele concordi

Fig. 6

    Un sistema formato da due forze F₁ e F₂, concordi e giacenti su rette parallele e distinte (Fig. 6), è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, parallela ad entrambe le forze F₁ e F₂ e di modulo pari alla somma dei moduli di F₁ e F₂.

    L'asse centrale r_R, retta d'azione di R, può essere ottenuto sia per via grafica, sia per via analitica. Per via grafica, si utilizzano le due costruzioni equivalenti riportate in Fig. 7, ottenute scambiando le posizioni di F₁ e F₂, invertendo il verso di una sola delle due forze e congiungendo tra loro i punti di applicazione e gli estremi delle forze scambiate di posizione.

Fig. 7

    Per la similitudine tra i triangoli in Fig. 7a) e 7b), tra i moduli e i bracci delle forze F₁ e F₂ rispetto all'asse centrale sussiste la seguente relazione di similitudine:

    Ricordando che, in una relazione di similitudine, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, si può scrivere:

da cui si ricava che le distanze d₁ e d₂ delle forze F₁ e F₂ dalla retta r_R sono inversamente proporzionali ai moduli delle forze stesse:

    Per via analitica, si fa uso del Teorema dell'asse centrale, ovvero, si ricerca la posizione dell'asse centrale imponendo che il momento risultante del sistema di forze (F₁, F₂) sia nullo rispetto a tutti i punti che gli appartengono. In notazione simbolica:

(si legge: il momento risultante M_P è uguale a zero per ogni polo P appartenente alla retta r_R).

    Affinché il momento risultante del sistema di due forze F₁ e F₂ sia uguale a zero per ogni punto P di r_R scelto come polo, il momento di F₁ rispetto al generico punto P di r_R deve essere uguale e contrario al momento di F₂ rispetto allo stesso punto P. Il luogo dei punti che soddisfano questa condizione è una retta parallela alle forze F₁ e F₂, l'asse centrale cercato. Per ottenere l'asse centrale, quindi, è sufficiente trovare un punto che soddisfi la condizione di annullamento del momento risultante e tracciare per esso una retta parallela a F₁ e F₂.

    Fissiamo le distanze delle rette r₁ e r₂ da P per mezzo di due ascisse orientate, d₁ e d₂. Supponendo che l'asse centrale sia interno alle rette d'azione di F₁ e F₂ (v. Fig. 8), l'ascissa d₁ risulta orientata verso sinistra e l'ascissa d₂ risulta orientata verso destra (il verso indica la posizione della retta rispetto al punto P).

Fig. 8

    In accordo con la convenzione di positività per i momenti, la condizione di annullamento del momento risultante si esplicita come segue:

da cui si ricava, nuovamente, la proporzionalità inversa tra i bracci d₁ e d₂ e i moduli delle forze F₁ e F₂:

    Quella appena scritta è un'equazione nelle due incognite d₁ e d₂. Per ricavare d₁ e d₂, abbiamo bisogno di un'ulteriore equazione nelle stesse incognite. Nell'ipotesi di conoscere la distanza b tra le rette d'azione di F₁ e F₂, possiamo scrivere il seguente sistema risolvente:

da cui si ricava:

    Avendo ottenuto d₁ e d₂ con segno positivo, si può concludere che l'ipotesi iniziale sulla posizione dell'asse centrale rispetto alle rette d'azione di F₁ e F₂ è corretta. In caso contrario, l'asse centrale sarebbe stato esterno alle rette r₁ e r₂. Dunque, la risultante di due forze parallele e concordi è una forza la cui retta d'azione è interna alle rette d'azione delle forze date. D'altra parte, affinché i momenti delle forze F₁ e F₂ rispetto ai punti dell'asse centrale abbiano segno opposto, condizione necessaria affinché M_P = 0 "P Î r_R, l'asse centrale non può essere esterno alle rette d'azione di  F₁ e F₂.

Risultante di due forze parallele discordi

Fig. 9

    Un sistema formato da due forze F₁ e F₂, discordi e giacenti su rette parallele e distinte (Fig. 9), è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, parallela ad entrambe le forze F₁ e F₂, concorde alla forza di modulo maggiore e di modulo pari al valore assoluto della differenza F₁ – F₂.

    L'asse centrale r_R, retta d'azione di R, può essere ottenuto sia per via grafica, sia per via analitica. Per via grafica, si utilizzano le due costruzioni equivalenti riportate in Fig. 10, ottenute, anche in questo caso, scambiando le posizioni di F₁ e F₂, invertendo il verso di una sola delle due forze e congiungendo tra loro i punti di applicazione e gli estremi delle forze scambiate di posizione.

Fig. 10

    Come nel caso delle due forze parallele e concordi, per la similitudine tra i triangoli in Fig. 10a) e 10b), si può stabilire la seguente relazione di similitudine:

da cui:

    Dunque, i bracci d₁ e d₂ delle forze F₁ e F₂ rispetto al generico punto P della retta r_R sono ancora inversamente proporzionali ai moduli delle forze:

    Per via analitica, si fa nuovamente uso del Teorema dell'asse centrale, ricercando l'asse centrale come luogo dei punti che annullano il momento risultante del sistema di due forze. In notazione simbolica:

    Per annullare il momento risultante M_P per ogni punto dell'asse centrale scelto come polo, il momento polare di F₁ deve ancora essere uguale e opposto al momento polare di F₂. Il luogo dei punti che soddisfano questa condizione è, anche in questo caso, una retta parallela alle forze F₁ e F₂. Affinché i due momenti siano di segno opposto, però, questa volta l'asse centrale deve essere esterno alle due rette d'azione. Inoltre, affinché i due momenti polari siano uguali in valore assoluto, la forza con modulo maggiore deve avere braccio minore. In conclusione, ci aspettiamo che l'asse centrale sia una retta esterna alle due rette d'azione, posta dalla parte della forza con modulo maggiore.

    A verifica di quanto detto, proviamo ad imporre la condizione di annullamento del momento risultante rispetto ad un punto P interno alle rette d'azione di F₁ e F₂ (v. Fig. 11), fissando le due distanze orientate d₁ e d₂ con origine comune sulla retta r_R in modo che d₁ sia diretta verso sinistra e d₂ sia diretta verso destra.

Fig. 11

    Per la convenzione di positività per i momenti, la condizione M_P = 0 si esplicita come segue:

da cui si ricava nuovamente, a meno del segno, la proporzionalità inversa tra i bracci d₁ e d₂ e i moduli delle forze F₁ e F₂:

    Il segno meno che compare nella relazione trovata indica che le due distanze orientate d₁ e d₂ sono una concorde e l'altra discorde rispetto ai versi ipotizzati in Fig. 11. Dovendo invertire il verso di una delle due distanze orientate, il punto P non può essere interno alle due rette d'azione, ma deve trovarsi o a sinistra di r₁ o a destra di r₂.

    Per determinare la posizione di P, ricaviamo d₁ e d₂ per mezzo del seguente sistema risolvente:

da cui si ricava:

    Dunque, nell'ipotesi F₁ > F₂, si ricava:

    Ricordando che d₁ e d₂ sono distanze orientate, la condizione d₁ < 0 implica che la retta r₁ non si trova alla sinistra di P, come ipotizzato in Fig. 11, ma alla sua destra. Dunque, l'asse centrale è collocato esternamente alle due forze, dalla parte della forza F₁. Al contrario, nell'ipotesi F₁ < F₂, si ricava:

e l'asse centrale è ancora collocato esternamente alle due forze, ma dalla parte della forza F₂. In conclusione, l'asse centrale di un sistema di due forze parallele e discordi è esterno alle rette d'azione delle due forze e si trova dalla parte della forza a modulo maggiore.

    I due casi F₁ > F₂ e F₁ < F₂ sono rappresentati in Fig. 12.

Fig. 12

Risultante di una forza e una coppia

    Un sistema formato da una forza F con retta d'azione r e da una coppia di momento M (Fig. 13) è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, di modulo, direzione e verso pari a modulo direzione e verso di F e retta d'azione r_R ottenuta traslando r della quantità d = M / F. La distanza d tra le rette r e r_R prende il nome di distanza di trasporto.

Fig. 13

    Per determinare la posizione della retta r_R rispetto alla retta r, si possono seguire due diversi procedimenti, uno grafico e uno analitico. Il procedimento grafico si basa sull'equivalenza tra le due rappresentazioni grafiche utilizzate per la coppia. Potendo rappresentare la coppia con un arco di circonferenza orientato o con un sistema di due forze discordi applicate su rette distinte, si adotti questa seconda rappresentazione per ricondurre il sistema in Fig. 13a) ad un sistema di soli vettori, in modo da poter procedere alla ricerca grafica della risultante come visto in precedenza.

    A questo punto, è fondamentale osservare che esistono infiniti sistemi di forze discordi equivalenti alla coppia oraria M in Fig. 13a). Infatti, qualsiasi sistema di forze discordi di modulo e braccio tali che il loro prodotto sia uguale a M è equivalente alla coppia oraria M, se ad esso è associato un momento orario. A titolo d'esempio, si riportano di seguito alcuni sistemi di forze discordi, tutti equivalenti alla coppia oraria M:

Fig. 14

    Tra gli infiniti sistemi di forze discordi equivalenti a M, si prenda in considerazione il seguente sistema, formato da due forze con modulo uguale al modulo della forza F applicata nel punto A di Fig. 13a): delle due forze costituenti la coppia, quella di verso opposto a F viene posta sulla stessa retta d'azione di F, con punto d'applicazione B, mentre quella concorde a F viene posta sulla retta r_R, tracciata a destra o a sinistra di r in modo che le due nuove forze costituiscano una coppia concorde a M. Per il sistema in Fig. 13a), essendo M oraria e F diretta verso l'alto, r_R va tracciata a sinistra di r (Fig. 15). Fissando la distanza d tra le due rette in modo che si abbia d = M / F, il momento della coppia introdotta è concorde con M e vale M.

Fig. 15

    Se la coppia M fosse stata antioraria, avremmo dovuto tracciare la retta r_R a destra di r (Fig. 16). Infine, se la forza F del sistema originario fosse stata diretta verso il basso, avremmo dovuto tracciare la retta r_R a destra di r per ottenere una coppia oraria (Fig. 17) e a sinistra di r per ottenere una coppia antioraria (Fig. 18).

Fig. 16

Fig. 17

Fig. 18

        Tornando al sistema di tre forze in Fig. 15b), si considerino ora le due forze applicate in A e B. Tali forze sono direttamente opposte e costituiscono un sistema equivalente a zero. Poiché un sistema equivalente a zero può essere aggiunto o tolto ad un sistema di vettori senza alterarne la risultante e il momento risultante (v. operazioni invariantive), il sistema di tre forze in Fig. 15b) è equivalente alla sola forza F applicata sulla retta r_R, che è l'asse centrale del sistema.

Fig. 19

    Il procedimento analitico si basa sul Teorema dell'asse centrale. In base a tale Teorema, occorre trovare il luogo dei punti rispetto ai quali il momento del sistema in Fig. 13a) è nullo. Per l'invarianza del momento della coppia rispetto al punto del piano scelto come polo, il problema della determinazione analitica dell'asse centrale si riconduce al problema della determinazione del luogo dei punti P rispetto ai quali il momento della sola forza F è antiorario e uguale a M. Ricordando che il momento di una forza rispetto ad un polo si ottiene dal prodotto tra il modulo della forza e la distanza della forza dal polo, si tratta, in ultima analisi, di trovare il luogo dei punti a distanza d=M/F dalla retta d'azione di F. Tale luogo è rappresentato da due rette parallele alla retta d'azione di F, poste una alla destra e una alla sinistra di F, a distanza d₁ = d₂ = d = M / F.

Fig. 20

    Il momento della forza F è antiorario rispetto ai punti della retta r₁ e orario rispetto ai punti della retta r₂. Pertanto, il luogo dei punti P per i quali si ha

con M_P momento del sistema forza + coppia, è rappresentato dalla retta r₁. Dunque, l'asse centrale è a sinistra di r, a distanza d = M / F. Ovviamente, saremmo giunti a conclusioni opposte se F avesse avuto verso opposto o se M fosse stata antioraria. In conclusione, i casi che si possono presentare sono i quattro illustrati in Fig. 21, 22, 23 e 24.

Fig. 21

Fig. 22

Fig. 23

Fig. 24

    Infine, poiché la coppia è un sistema a risultante nulla, il modulo e il verso della risultante del sistema forza + coppia sono uguali al modulo e al verso della sola forza F.

    Con riferimento alla Fig. 13, si considerino ora i seguenti due casi limite:

• M = 0, F ≠ 0;

• F = 0, M ≠ 0.

    Nel primo caso, essendo nullo il rapporto M / F, si annulla la distanza di trasporto, d:

Quindi, ritroviamo come caso limite il risultato, già noto, secondo il quale la risultante di un sistema formato da una sola forza F coincide con la forza stessa.

    Nel secondo caso, il rapporto M / F va all'infinito:

Per comprendere il significato fisico associato ad una distanza di trasporto infinita, ricerchiamo la posizione dell'asse centrale facendo uso del Teorema dell'asse centrale. Rappresentata la coppia per mezzo di due vettori discordi applicati su rette distinte, si indichi ancora con b la distanza tra le rette d'azione delle due forze costituenti la coppia. Inoltre, sia d la distanza dell'asse centrale dalla forza posta più a sinistra.

Fig. 25

    Troviamo la distanza d imponendo che si abbia M_P = 0 per tutti i punti P della retta r_R. Affinché si annulli il momento del sistema di forze, occorre che le due forze forniscano momenti uguali e opposti rispetto ai punti dell'asse centrale. Essendo le due forze discordi, affinché i momenti siano di segno opposto l'asse centrale deve essere esterno alla coppia. Inoltre, poiché le due forze hanno stesso modulo, occorre che si uguaglino le distanze delle due rette d'azione rispetto ai punti dell'asse centrale:

    Fino a quando i bracci delle due forze rispetto ai punti dell'asse centrale conservano valore finito, le due distanze non si uguagliano mai, perché differiscono per la quantità finita b. Dunque, il valore di d che risolve il problema è d = ±∞. Ne segue, allora, che la risultante di una coppia è una forza a modulo nullo applicata su una retta a distanza infinita (retta impropria). In conclusione, l'asse centrale di una coppia è la retta impropria.

Test di verifica dell'apprendimento:

Risultante tra forze incidenti

Risultante tra forze parallele

Risultante tra coppie e forze concentrate